Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Amérique du Sud, Sujet 2) est un classique de la modélisation probabiliste, divisé en deux parties distinctes qui couvrent l'essentiel du programme de probabilités de Terminale. Il permet d'évaluer la capacité du candidat à modéliser une situation réelle (un jeu de tir) et à manipuler des outils statistiques fondamentaux.

1. Maîtriser les probabilités conditionnelles et les arbres

La première partie (Partie A) repose sur la construction et l'interprétation d'un arbre pondéré. La clé de la réussite réside dans la lecture attentive de l'énoncé pour distinguer les probabilités simples des probabilités conditionnelles (exprimées par "si... alors..."). Ici, la probabilité d'atteindre la cible dépend du résultat du tir précédent, ce qui impose une structure arborescente à trois niveaux. Les candidats doivent savoir calculer la probabilité d'une intersection (une branche complète) et utiliser la loi des probabilités totales ou l'addition d'événements disjoints pour répondre aux questions sur la variable aléatoire $X$.

2. Variable aléatoire et Espérance

L'exercice introduit une variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès. Pour réussir, il faut être capable de :

• Identifier toutes les issues (chemins) menant à une valeur donnée de $X$ (par exemple, $X=2$).
• Établir la loi de probabilité sous forme de tableau en vérifiant que la somme des probabilités vaut 1.
• Calculer et interpréter l'espérance mathématique $E(X)$, qui représente ici le nombre moyen de tirs réussis par un joueur sur un grand nombre de parties.

3. Loi Binomiale et Seuil de probabilité

La Partie B bascule vers une répétition d'épreuves indépendantes, marquant l'entrée en jeu de la loi binomiale. Les points cruciaux sont :

• La justification rigoureuse du schéma de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes, succès/échec).
• L'identification des paramètres $n$ (nombre de joueurs) et $p$ (probabilité de gagner, calculée implicitement dans la partie A).
• L'usage de la calculatrice pour déterminer des probabilités ponctuelles $P(Y=k)$.

Enfin, la dernière question est un grand classique des sujets de Bac : déterminer la taille de l'échantillon $n$ pour garantir une probabilité minimale d'avoir "au moins un gagnant". La méthode infaillible consiste à passer par l'événement contraire ("aucun gagnant") et à résoudre une inéquation faisant intervenir les logarithmes ($n > \frac{\ln(...)}{\ln(...)}$).