Analyse de l'Exercice 1 : QCM sur les Probabilités et la Loi Binomiale

Cet exercice 1 du sujet 2 de Métropole 2023 est un Questionnaire à Choix Multiple (QCM) classique couvrant deux thèmes majeurs du programme de Spécialité Mathématiques : les probabilités conditionnelles et la loi binomiale. Bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie, la réussite de cet exercice repose sur une maîtrise rigoureuse des formules et l'utilisation efficace de la calculatrice.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtriser les arbres pondérés et les probabilités conditionnelles

La première partie de l'exercice modélise une situation aléatoire simple (choix d'un monde A ou B, puis victoire ou défaite). Pour répondre aux premières questions, il est indispensable de :

• Savoir traduire l'énoncé sous forme d'un arbre de probabilité. Visualiser les branches et les poids (probabilités) permet d'éviter les erreurs d'inattention.
• Utiliser la formule de l'intersection $P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G)$ pour calculer la probabilité d'un chemin complet.
• Manipuler la formule des probabilités totales. Ici, l'énoncé donne la probabilité finale $P(G)$. L'enjeu est souvent d'inverser la logique habituelle pour retrouver une probabilité manquante liée à la seconde branche (le monde B).
• Calculer une probabilité conditionnelle inverse, par exemple $P_B(G)$, en utilisant le rapport entre l'intersection et la probabilité de l'événement conditionnant.

2. Identifier et appliquer la Loi Binomiale

La seconde partie de l'exercice bascule sur une répétition d'épreuves (10 parties successives). Les points clés pour réussir sont :

• Reconnaître le schéma de Bernoulli : Il faut identifier qu'il s'agit d'une répétition d'expériences identiques et indépendantes, avec deux issues (Succès/Échec). Cela justifie l'utilisation de la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p$ (probabilité de succès donnée).
• Usage de la calculatrice : Pour calculer la probabilité d'un nombre exact de succès ($P(X=k)$), la connaissance de la formule avec le coefficient binomial est utile, mais l'utilisation des fonctions BinomialPD (ou équivalent) de la calculatrice est plus rapide et sûre.
• Probabilités cumulées : L'exercice demande de trouver un seuil $n$ pour une probabilité cumulée $P(X \le n)$. Il faut savoir utiliser la fonction BinomialCD de la calculatrice ou procéder par tâtonnements intelligents à partir de la table de valeurs.
• L'événement contraire : La question classique sur la probabilité de gagner "au moins une partie" ($P(X \ge 1)$) se traite presque toujours plus simplement en passant par l'événement contraire "ne gagner aucune partie" ($1 - P(X=0)$).

En résumé, cet exercice demande de la rigueur dans la lecture des données (notamment pour distinguer $P_A(G)$ de $P(A \cap G)$) et une bonne aisance technique avec les outils de calcul statistique.