Sujet de Bac 2023 Nouvelle-Calédonie (Sujet 1) - Exercice 3 : QCM d'Analyse et Géométrie

Cet exercice 3 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2023 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) qui balaie deux thèmes majeurs du programme de Terminale Spécialité Mathématiques : l'analyse fonctionnelle (primitives) et la géométrie dans l'espace. Aucune justification n'est demandée, mais une maîtrise rigoureuse des méthodes de vérification est indispensable pour choisir la bonne réponse.

Compétences et clés de réussite

• Calcul de primitives et dérivation : Pour la première question, la méthode la plus fiable consiste souvent à dériver les propositions de primitives $F(x)$ pour retrouver la fonction initiale $f(x)$. Il faut maîtriser parfaitement la dérivée d'un produit de la forme $(uv)' = u'v + uv'$ impliquant la fonction exponentielle.
• Positions relatives de deux droites : Il s'agit d'analyser les vecteurs directeurs pour tester le parallélisme. S'ils ne sont pas colinéaires, il faut résoudre un système paramétrique pour déterminer si les droites sont sécantes (point d'intersection unique) ou non coplanaires (aucun point commun).
• Intersection Droite et Plan : L'exercice demande de tester la position d'une droite définie par une représentation paramétrique par rapport à un plan défini par une équation cartésienne. La méthode clé est d'injecter les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan. L'étude du vecteur directeur de la droite et du vecteur normal du plan permet aussi de conclure rapidement sur l'orthogonalité ou le parallélisme strict.
• Positions relatives de deux plans : La comparaison des vecteurs normaux est l'outil principal. Si les vecteurs normaux sont colinéaires, les plans sont parallèles. S'ils sont orthogonaux (produit scalaire nul), les plans sont perpendiculaires.
• Calcul d'angles et produit scalaire : Pour déterminer la mesure d'un angle géométrique formé par trois points dans l'espace, il est nécessaire d'utiliser la définition du produit scalaire faisant intervenir le cosinus : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\alpha)$. Il faut donc calculer les coordonnées des vecteurs, leur produit scalaire algébrique et leurs normes respectives pour isoler l'angle.

Ce QCM constitue un excellent entraînement pour vérifier la rapidité et la précision sur les calculs vectoriels et la manipulation des fonctions exponentielles.