Analyse du QCM : Fonctions et Analyse

Ce quatrième exercice du sujet 2 du Baccalauréat 2023 (La Réunion) prend la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format, très classique dans les épreuves récentes, permet de balayer un large spectre de connaissances en analyse sans exiger de rédaction détaillée sur la copie. Cependant, pour trouver la bonne réponse parmi les quatre proposées, l'élève doit maîtriser parfaitement les automatismes de calcul et les propriétés fondamentales des fonctions usuelles.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il est nécessaire de mobiliser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale Spécialité Mathématiques :

1. Étude des variations et nombre de solutions

La première question demande de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type $f(x) = k$. La clé ici n'est pas de résoudre l'équation algébriquement (ce qui est souvent impossible avec des termes mixtes comme $xe^x$), mais d'étudier les variations de la fonction. Il faut calculer la dérivée, établir le tableau de variation, déterminer les extremums locaux et appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour compter les intersections.

2. Calcul de limites et croissances comparées

La question sur la limite en $-\infty$ d'une fonction mêlant polynôme et exponentielle nécessite une attention particulière aux signes. Bien que les croissances comparées soient souvent utilisées en $+\infty$, ici, l'analyse du comportement des termes $x$ et $e^x$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ suffit, à condition de bien gérer les règles opératoires sur les limites (formes indéterminées éventuelles ou produits de limites).

3. Convexité et point d'inflexion

L'étude de la convexité est un point central de l'analyse. Pour affirmer si une fonction est convexe ou concave, ou pour localiser un point d'inflexion, la méthode infaillible consiste à calculer la dérivée seconde $h''(x)$. Le signe de la dérivée seconde donne la convexité, et l'endroit où elle s'annule en changeant de signe indique l'abscisse du point d'inflexion. Une grande rigueur dans le calcul des dérivées successives (règle du produit $(uv)'$) est indispensable.

4. Équation de la tangente

La détermination de l'équation réduite de la tangente est une application directe du cours. Il faut connaître par cœur la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ et savoir l'appliquer ici pour $a=e$ avec une fonction logarithme. Les erreurs de calcul littéral sont les pièges les plus fréquents dans ce type de question.

5. Équations logarithmiques et changement de variable

Enfin, la résolution d'équations faisant intervenir $[\ln(x)]^2$ se traite généralement par un changement de variable (par exemple $X = \ln(x)$). Cela ramène le problème à une équation du second degré classique. Une fois les solutions pour $X$ trouvées, il ne faut pas oublier de revenir à la variable $x$ en utilisant l'exponentielle, tout en vérifiant l'ensemble de définition.

Ce QCM est un excellent entraînement pour vérifier la solidité de vos bases en analyse, mêlant technicité calculatoire et compréhension théorique des courbes.