Analyse globale de l'exercice

Cet exercice 1 du Baccalauréat Amérique du Nord 2021 est un sujet classique et incontournable pour les élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Il aborde le thème central des probabilités à travers une situation concrète : la fiabilité d'un test médical (ici anti-dopage). L'exercice est structuré en deux parties distinctes mais thématiquement liées : la première se concentre sur les probabilités conditionnelles et l'utilisation d'arbres pondérés, tandis que la seconde applique la loi binomiale à un échantillon d'athlètes.

Le contexte réaliste demande une bonne capacité de modélisation mathématique, passant de l'énoncé textuel aux notations formelles ($P_D(T)$, etc.), puis à l'interprétation des résultats calculés.

Compétences et clés de réussite

1. Maîtriser l'arbre pondéré et les probabilités totales

La première étape cruciale est de traduire correctement l'énoncé en un arbre de probabilité. Les erreurs fréquentes surviennent lors de l'identification des probabilités conditionnelles (sensibilité et spécificité du test) par rapport aux probabilités d'intersection. Il faut être vigilant sur la somme des branches issues d'un même nœud qui doit toujours être égale à 1.

Pour calculer $P(T)$, la formule des probabilités totales est indispensable. L'élève doit savoir rédiger rigoureusement en citant que les événements forment une partition de l'univers.

2. Inverser le conditionnement (Formule de Bayes)

La question demandant la probabilité qu'un athlète soit dopé sachant que le test est positif fait appel à la notion de probabilité conditionnelle inverse ($P_T(D)$). La clé de la réussite ici est de bien utiliser la définition $P_T(D) = \frac{P(D \cap T)}{P(T)}$ et de réutiliser le résultat de la question précédente. C'est souvent là que se joue la compréhension fine des enjeux de l'exercice (faux positifs vs vrais positifs).

3. Identifier et appliquer la Loi Binomiale

Dans la Partie B, la transition vers la répétition d'expériences identiques et indépendantes doit immédiatement évoquer la Loi Binomiale. Pour obtenir tous les points, il est impératif de justifier le modèle :

• L'expérience est une épreuve de Bernoulli (succès/échec).
• Elle est répétée $n$ fois de manière identique et indépendante (tirage avec remise ou assimilé).
• On précise les paramètres $n$ et $p$.

4. Gérer l'événement "au moins un"

Le calcul de la probabilité qu'"au moins un athlète" soit positif ($P(X \ge 1)$) est un classique absolu. Plutôt que de sommer les probabilités de 1 à $n$, la méthode la plus efficace et attendue est de passer par l'événement contraire : $1 - P(X=0)$. Cela simplifie drastiquement les calculs.

5. Résoudre une inéquation avec des puissances (Recherche de seuil)

La dernière question demande de déterminer une taille d'échantillon $n$ pour atteindre une certaine probabilité. Cela conduit à une inéquation de la forme $1 - q^n \ge 0,75$. La clé de réussite réside dans la maîtrise de la fonction logarithme népérien (ln) pour isoler l'inconnue $n$ en exposant. Attention au changement de sens de l'inégalité lors de la division par $\ln(q)$ car $\ln(q)$ est négatif lorsque $0 < q < 1$.