Introduction : Un Sujet Complet pour la Révision du Bac Maths 2023

Le sujet des Centres Étrangers (Groupe 1) du 13 mars 2023 est une excellente ressource pour les élèves de Terminale préparant l'épreuve de Spécialité Mathématiques. Arrivant tôt dans la saison (session de mars), il couvre un spectre large du programme sans aller chercher des notions excessivement complexes, mais demande une grande rigueur rédactionnelle.

Ce sujet est composé de quatre exercices classiques : un QCM balayant l'analyse et l'algorithmique, un exercice hybride Probabilités-Suites, un gros morceau de Géométrie dans l'espace, et enfin une étude de fonction contextuelle. Voici une analyse détaillée et pédagogique pour comprendre les attentes et éviter les pièges.

Exercice 1 : Le QCM (Analyse, Python et Dénombrement)

Comme souvent, le QCM permet de tester la réactivité du candidat sur des notions variées. Il rapporte 5 points et ne demande pas de justification, mais le brouillon doit être impeccable.

• Question 1 (Limites de suites) : On analyse une suite rationnelle avec des puissances $n$. Le piège est de penser que les termes constants (1 et 3) ont une influence. La méthode clé est de factoriser par le terme dominant ($5^n$) au dénominateur pour lever l'indétermination.
• Question 2 (Dérivation) : Une fonction de la forme $uv$. Il faut appliquer rigoureusement la formule $(uv)' = u'v + uv'$. L'erreur classique est de dériver $x^2$ et $\ln(x)$ séparément sans les lier.
• Question 3 (Primitives et Variations) : Une question conceptuelle très fine. On vous donne le tableau de variation de $h$. On vous demande des infos sur $H$, sa primitive. Rappel fondamental : le signe de $h$ (la fonction) donne les variations de $H$ (la primitive). Il fallait donc lire le signe dans le tableau (et non les variations de $h$).
• Question 4 (Algorithme Python) : Un classique de la méthode de dichotomie. Il faut repérer la condition de la boucle while (tant que l'écart est grand) et le test if f(m) < 0 qui décide quelle borne ($a$ ou $b$) on déplace. Attention aux inégalités strictes ou larges.
• Question 5 (Probabilités) : Tirages successifs avec remise (Schéma de Bernoulli). On cherche exactement 2 boules vertes sur 3 tirages. La formule de la loi binomiale ou un simple arbre permettent de trouver le coefficient binomial (le nombre de chemins) qui est souvent oublié par les élèves étourdis.

Exercice 2 : Probabilités et Suites (Le duo incontournable)

Cet exercice est divisé en deux parties indépendantes, une structure très fréquente au Bac.

Partie A : Probabilités conditionnelles et Suites

C'est l'exercice type "L'état de la semaine $n+1$ dépend de la semaine $n$".

• L'arbre pondéré : La première difficulté est de traduire l'énoncé en arbre. Il faut bien identifier $P_{B_n}(B_{n+1})$ et $P_{\overline{B_n}}(B_{n+1})$.
• La relation de récurrence : On utilise la formule des probabilités totales pour exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$. Cela aboutit à une suite arithmético-géométrique ($u_{n+1} = au_n + b$).
• Suite auxiliaire : L'énoncé introduit une suite $(u_n)$ géométrique pour résoudre le problème. La compétence évaluée est la capacité à passer de $p_n$ à $u_n$, démontrer la géométrie de $u_n$, puis revenir à l'expression explicite de $p_n$.
• Limite : Une interprétation concrète est demandée. Si la raison de la suite géométrique est comprise entre -1 et 1, elle tend vers 0, ce qui stabilise la probabilité à long terme.

Partie B : Loi Binomiale pure

Un lot de 15 trottinettes, tirage assimilé avec remise. C'est l'application directe de la loi Binomiale $B(n, p)$. Les calculs de $P(X=k)$ et $P(X \ge k)$ se font à la calculatrice, mais il faut savoir justifier le modèle (indépendance, répétition, succès/échec) pour avoir tous les points.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (Rigueur et Calculs)

Cet exercice est sans doute le plus dense du sujet. Il demande une bonne vision dans l'espace et une maîtrise parfaite du calcul vectoriel.

• Coordonnées : Tout part d'un repère orthonormé défini sur un prisme. Attention aux coefficients (par exemple $\vec{k} = \frac{1}{8}\vec{AE}$), cela signifie que le point E a pour cote 8, pas 1 ! Une erreur ici condamne la suite.
• Vecteur normal et Plan : On vérifie qu'un vecteur est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan. Ensuite, on en déduit l'équation cartésienne du type $ax + by + cz + d = 0$.
• Projeté orthogonal et Distance : C'est la partie technique. On définit une droite perpendiculaire au plan passant par un point H. En trouvant l'intersection de cette droite et du plan, on obtient le projeté L. La distance HL est alors la distance du point au plan. C'est une méthode algorithmique qu'il faut connaître par cœur.
• Volume : On finit par le volume du tétraèdre. La base est un triangle rectangle (à démontrer avec le produit scalaire nul) et la hauteur est la distance calculée précédemment.

Exercice 4 : Étude de Fonction (Exponentielle et Modélisation)

Un exercice de type "Vrai/Faux" avec justification, basé sur une fonction biologique : $f(t) = \text{e}^3 - \text{e}^{-0,5t^2 + t + 2}$.

• Affirmation 1 (Sens de variation) : Il faut dériver une fonction composée $\text{e}^u$. Le signe de la dérivée dépend du signe de $u'(t) = -t + 1$. La fonction n'est donc pas monotone sur $\mathbb{R}^+$.
• Affirmation 2 (Limites) : On analyse le comportement en $+\infty$. Le polynôme dans l'exponentielle tend vers $-\infty$, donc $\text{e}^{-\infty}$ tend vers 0. Il reste la constante $\text{e}^3$. Attention à bien comparer cette valeur limite avec le seuil donné (21 000). Sachant que $\text{e} \approx 2,718$, $\text{e}^3 \approx 20$. L'unité étant en "milliers", le piège est dans la conversion des unités !
• Affirmation 3 (TVI) : L'équation $f(t) = 10$. Il faut dresser le tableau de variations complet, calculer le maximum, et appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) sur les intervalles où la fonction est monotone pour compter les solutions.

Conclusion : Ce sujet de Bac Étranger 2023 est équilibré. Il récompense les élèves qui maîtrisent les méthodes standards (suites arithmético-géométriques, équation de plan, TVI) et qui lisent attentivement les énoncés (unités, définitions des suites).