Analyse du Sujet Bac Spé Maths Asie 2024 : Un Entraînement Stratégique

Le sujet du baccalauréat de mathématiques de la zone Asie, tombé le 10 juin 2024, est une ressource inestimable pour les élèves préparant la session métropolitaine. Souvent considéré comme un « sujet baromètre », il permet d'identifier les tendances actuelles des concepteurs de sujets. Ce sujet couvre les piliers du programme de Terminale : l'analyse fonctionnelle avec la fonction exponentielle, la géométrie vectorielle dans l'espace, les probabilités (conditionnelles et binomiale) et un exercice de Vrai/Faux balayant les suites et l'algorithmique.

Voici une analyse détaillée, exercice par exercice, pour comprendre la philosophie de l'épreuve et les compétences attendues.

Exercice 1 : Analyse de Fonction, Convexité et Intégration (5 points)

Cet exercice est un classique de l'analyse, divisé en deux parties complémentaires : une approche graphique (conjecture) suivie d'une validation algébrique.

• Partie A : Lecture graphique
  L'élève est invité à déduire des variations et des signes à partir de la courbe $\mathcal{C}$ et de ses tangentes. La difficulté réside ici dans l'association des courbes de dérivées ($f'$ et $f''$). Il faut se rappeler que les variations de $f$ dépendent du signe de $f'$, et que la convexité de $f$ dépend du signe de $f''$ (ou des variations de $f'$). Une bonne maîtrise de la lecture de la pente des tangentes est indispensable.
• Partie B : Étude analytique
  La fonction étudiée est du type $(ax+b)e^{-x+1}$.
  Les points clés :
  1. Dérivation : Utiliser la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est crucial ici. Une erreur de signe dans la dérivée de l'exponentielle composée ($e^u$) est le piège le plus fréquent.
  2. Convexité : L'étude de la dérivée seconde permet de trouver le point d'inflexion. C'est une question technique qui demande de la rigueur dans le calcul littéral.
  3. Intégration et Primitives : L'exercice demande de vérifier une primitive donnée. Il suffit de dériver $F$ pour retrouver $f$. L'application concrète (calcul de surface pour un mur de graffiti) teste la capacité à modéliser un problème : il faut calculer l'intégrale (l'aire sous la courbe) et la convertir selon les unités de l'énoncé.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice très complet qui structure la démonstration étape par étape. L'objectif est de calculer le volume d'une pyramide à base trapézoïdale.

• Les notions en jeu : Vecteurs, colinéarité, produit scalaire, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique de droite.
• Les difficultés :
  - Démontrer la nature du quadrilatère : Pour prouver qu'il s'agit d'un trapèze, il faut montrer que deux vecteurs (les bases) sont colinéaires. Attention à ne pas confondre avec un parallélogramme.
  - Le projeté orthogonal : L'exercice guide vers le calcul de la hauteur de la pyramide via l'intersection d'une droite et d'un plan. C'est la méthode standard : on injecte la représentation paramétrique de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver le paramètre $t$.
• Conseil méthodologique : Faites un schéma au brouillon pour bien visualiser la pyramide SABDC, surtout pour identifier la base et la hauteur correspondante. Les calculs de coordonnées (milieu, distance) ne tolèrent aucune erreur d'étourderie.

Exercice 3 : Probabilités (5 points)

Contextualisé autour de la COVID-19, cet exercice mélange loi binomiale et probabilités conditionnelles. C'est un exercice de type « santé publique » très fréquent.

• Partie A : Loi Binomiale
  On répète une expérience de Bernoulli (infecté ou non) de manière indépendante. Il faut justifier les paramètres $(n, p)$.
  - Calculs : L'usage de la calculatrice est nécessaire pour $P(X \ge 2)$ ou pour trouver $n$ tel que $P(X \le n) > 0,9$. Attention aux inégalités strictes ou larges.
• Partie B : Probabilités Conditionnelles (Arbre)
  On introduit les notions de sensibilité et spécificité. L'arbre pondéré est l'outil indispensable pour ne pas se perdre. Le calcul de $P(I|T)$ (probabilité d'être infecté sachant que le test est positif) utilise la formule de Bayes implicite (via la définition $P_T(I) = P(I \cap T) / P(T)$).
• Partie C : Inversion de problème
  C'est la question la plus subtile. On connait le résultat final ($P(T)$) et on cherche la proportion initiale ($P(I)$). Cela demande de poser une équation où l'inconnue est $x = P(I)$.

Exercice 4 : Vrai ou Faux (5 points)

L'exercice « quitte ou double » par excellence. Chaque réponse doit être justifiée.

• Affirmation 1 (Suites) : Teste la compréhension de la convergence. Une suite décroissante minorée converge, oui, mais pas forcément vers son minorant ! (Contre-exemple classique).
• Affirmation 2 (Limites) : Comparaison de puissances ($9^n$ vs $7^n$). Factoriser par le terme prépondérant est la méthode attendue.
• Affirmation 3 (Python) : Analyse d'une boucle for i in range(N). Piège classique : en Python, range(4) va de 0 à 3 (0, 1, 2, 3), et non de 1 à 4.
• Affirmation 4 (Suites géométriques) : Comparaison entre une somme arithmétique (salaire fixe) et une somme géométrique (salaire doublé). La croissance exponentielle gagne toujours très vite.
• Affirmation 5 (Intégrales et Suites) : Lien entre le signe de la fonction intégrée et le sens de variation de la suite définie par l'intégrale. Si on intègre une fonction positive sur un intervalle croissant, la suite croît.

Conclusion

Ce sujet Asie 2024 est équilibré et exigeant sur la rigueur de rédaction. Il ne comporte pas de « surprise » majeure mais demande une parfaite maîtrise des méthodes standards (équation de plan, dérivée composée, loi binomiale). Réussir ce sujet est un excellent indicateur de réussite pour l'épreuve finale.