Introduction au Sujet Centres Étrangers J1 2024

Le sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques des Centres Étrangers (Europe), session du 5 juin 2024, est un excellent millésime pour les révisions. Il couvre de manière équilibrée les quatre grands piliers du programme de Terminale : Probabilités conditionnelles, Analyse (fonctions et suites), Équations différentielles et Géométrie dans l'espace.

Ce sujet est particulièrement intéressant car il mélange des compétences techniques pures (calcul d'intégrales, équations différentielles) et des capacités de modélisation (problème de fiabilité d'un test antidopage).

Exercice 1 : Probabilités et Étude de Fonction (5 points)

Cet exercice est un classique de la modélisation. Il débute par une étude de fonction purement analytique (Partie A) pour ensuite l'appliquer à une situation probabiliste (Partie B).

• Les notions clés : Arbres pondérés, formule des probabilités totales, probabilités conditionnelles (formule de Bayes déguisée) et lien avec une fonction homographique.
• La difficulté : La transition entre la partie A et B. Il faut comprendre que la fonction $f(x)$ étudiée au début représente en réalité la probabilité qu'un sportif soit dopé sachant que son test est positif ($P_T(D)$), en fonction de la prévalence $x$ du dopage.
• Le piège : Ne pas confondre la probabilité d'être positif sachant qu'on est dopé avec la probabilité d'être dopé sachant qu'on est positif (valeur prédictive).

Exercice 2 : Suites, Exponentielle et Python (5 points)

Un exercice très complet sur les suites numériques définies par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.

• Les notions clés : Étude de fonction avec exponentielle ($x \mapsto 2xe^{-x}$), résolution d'équation $f(x)=x$ (point fixe), démonstration par récurrence, théorème de convergence monotone, et algorithmique.
• L'analyse : La suite converge vers la solution de $f(x)=x$ sur l'intervalle donné, ici $\ln(2)$. C'est un résultat classique mais élégant.
• Compétence Python : Le script demandé est un algorithme de seuil standard. Il faut savoir utiliser une boucle while pour déterminer quand l'écart entre le terme de la suite et la limite devient inférieur à une précision donnée.

Exercice 3 : Équations Différentielles et Intégration (5 points)

C'est l'exercice technique du sujet. Les équations différentielles font souvent peur, mais la structure ici est très guidée.

• Les notions clés : Résolution de $y' = y$ (solution homogène), vérification d'une solution particulière trigonométrique, principe de superposition (transformation de l'équation $(E)$ en $(E_0)$), condition initiale et calcul d'intégrale.
• La méthode : L'exercice guide l'élève pas à pas : d'abord la solution générale de l'équation homogène, puis une solution particulière $h$, pour enfin déduire toutes les solutions sous la forme $f = C \times e^x + h(x)$.
• Le calcul final : Une intégrale définie qui demande de connaître ses primitives usuelles (exponentielle et trigonométrie).

Exercice 4 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Un exercice de géométrie analytique en 3D assez dense, faisant intervenir droites, plans et calculs de distances.

• Les notions clés : Représentations paramétriques de droites, équation cartésienne de plan ($ax+by+cz+d=0$), vecteur normal, orthogonalité, intersection de droites et distance d'un point à un plan.
• La particularité : L'exercice introduit la notion de hauteurs dans un tétraèdre. Il faut démontrer que des droites sont sécantes, ce qui revient à résoudre un système pour trouver les paramètres $t$ et $s$.
• Conseil : Soyez rigoureux dans la rédaction des systèmes d'équations pour l'intersection des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$. Une erreur de signe ruine le calcul du point d'intersection.

Conclusion

Le sujet Centres Étrangers 2024 est un sujet "modèle". Il ne présente pas de piège vicieux mais exige une maîtrise solide du cours. Réussir ce sujet garantit que vous êtes prêt pour l'épreuve finale en métropole.