Compétences et clés de réussite

Cet exercice de probabilités, issu du sujet du baccalauréat de mathématiques 2025 (Métropole, Sujet 1), se présente sous la forme classique du « Vrai ou Faux ». Ce format exige une grande rigueur : comme le précise l'énoncé, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Il s'agit donc d'un excellent entraînement pour structurer ses raisonnements mathématiques, en abordant quatre thèmes centraux du programme de terminale.

1. Dénombrement et construction de codes

La première affirmation teste vos compétences en combinatoire et en dénombrement, un pilier incontournable du programme. L'objectif est de dénombrer le nombre de codes à 4 chiffres possibles selon deux contraintes strictes :

• Les chiffres doivent être deux à deux distincts (ce qui implique des arrangements sans répétition).
• Le premier chiffre ne peut pas être un 0.

Pour réussir cette question, il est conseillé de procéder par étapes en utilisant le principe multiplicatif. On commence souvent par l'élément qui pose une restriction (le premier chiffre) avant de choisir les suivants parmi les chiffres restants. Ce type d'analyse évite les oublis et structure naturellement la démonstration.

2. Probabilités conditionnelles et loi des probabilités totales

La deuxième affirmation plonge le candidat dans l'univers des probabilités conditionnelles. Face à une telle situation, le réflexe immédiat doit être la modélisation à l'aide d'un arbre pondéré. L'énoncé donne plusieurs probabilités totales et conditionnelles. L'enjeu est de :

• Traduire l'énoncé en notation mathématique rigoureuse (événements, intersections).
• Compléter les branches de l'arbre grâce aux règles des nœuds.
• Appliquer la formule des probabilités totales pour déduire les probabilités manquantes sur les branches de second niveau.

Ici, il faudra manipuler habilement les formules pour isoler et calculer une probabilité conditionnelle spécifique, puis la comparer à la fraction proposée par l'affirmation.

3. Reconnaissance et utilisation de la loi binomiale

La troisième situation décrit une répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes. C'est le signal d'alarme pour la loi binomiale. Pour justifier rigoureusement votre résultat, vous devez :

• Définir de manière explicite le succès et l'échec de l'expérience de Bernoulli sous-jacente.
• Justifier l'indépendance des répétitions.
• Préciser les paramètres de la loi binomiale (n et p).

L'affirmation vous demande ensuite de calculer la probabilité d'obtenir exactement un nombre précis de succès. La maîtrise de la formule utilisant les coefficients binomiaux est indispensable ici pour valider ou invalider le résultat fourni.

4. Variables aléatoires discrètes et espérance mathématique

La dernière affirmation porte sur une variable aléatoire donnant un temps de parcours. L'astuce classique de ce genre de question réside dans les unités de mesure. Les durées sont données en heures et minutes, mais l'affirmation est libellée uniquement en minutes. La clé absolue de réussite est donc l'homogénéisation des unités avant tout calcul.

Une fois le tableau de la loi de probabilité correctement redéfini avec des valeurs en minutes, l'application directe de la formule de l'espérance mathématique (somme des produits des valeurs par leurs probabilités respectives) permet de conclure aisément. En somme, cet exercice est très complet et nécessite de bien lire les données, de modéliser soigneusement et d'appliquer avec méthode les théorèmes fondamentaux.