Analyse de l'Exercice 3 : Un tour d'horizon du programme de Spécialité

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (Polynésie, Sujet 1) propose une structure classique de type Vrai/Faux avec justification. Ce format est particulièrement exigeant car il demande non seulement de trouver la bonne réponse, mais surtout de rédiger une démonstration rigoureuse pour chaque affirmation. Une réponse correcte sans justification ne rapporte aucun point, ce qui souligne l'importance de la rédaction mathématique.

Les thèmes abordés sont variés et balaient une bonne partie du programme d'analyse (fonction exponentielle, convexité, intégration) ainsi que l'algorithmique.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de la convexité et dérivée seconde

La première question porte sur la convexité d'une fonction faisant intervenir l'exponentielle. Pour réussir cette question, il est impératif de maîtriser le calcul de la dérivée seconde ($f''$). La clé réside dans le lien entre le signe de $f''(x)$ et la convexité de $f$. Si la dérivée seconde est positive sur l'intervalle, la fonction est convexe.

2. Résolution d'équations exponentielles

L'affirmation concernant l'équation produit nul nécessite de savoir manipuler les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Il faut se rappeler que pour tout réel $x$, $\text{e}^x > 0$. Ainsi, un facteur du type $(\text{e}^x + k)$ avec $k > 0$ ne s'annule jamais. La résolution se ramène alors à isoler l'exponentielle et à utiliser le logarithme népérien, tout en vérifiant l'ensemble de définition.

3. Calcul de limites et indéterminations

Le calcul de limite proposé présente une forme indéterminée de type $\infty / \infty$. La méthode standard pour lever cette indétermination consiste à factoriser par le terme prépondérant (ici $\text{e}^{2x}$ au numérateur et $\text{e}^x$ au dénominateur, ou simplement $\text{e}^x$ partout) pour faire apparaître des limites usuelles ou simplifier l'expression.

4. Primitives et conditions initiales

Pour vérifier si une fonction $F$ est la primitive d'une fonction $f$ satisfaisant une condition initiale, la méthode la plus efficace n'est pas forcément de calculer l'intégrale. Il est souvent plus rapide et moins risqué de :

• Dériver la fonction $F$ proposée et vérifier si $F'(x) = f(x)$.
• Calculer l'image de la valeur initiale (ici $F(0)$) pour voir si elle correspond à la valeur attendue.

Cette double vérification est infaillible pour ce type de question.

5. Algorithmique et lecture de code Python

La dernière question analyse une fonction Python simple. Il faut être capable de faire tourner l'algorithme "à la main" (trace d'exécution). L'élève doit identifier le rôle de la variable S (accumulateur de somme) et comprendre que la fonction retourne la moyenne des éléments de la liste (somme divisée par la longueur). Le piège réside souvent dans la confusion entre la somme totale et la moyenne finale.