Analyse de l'exercice de Géométrie dans l'espace - Bac 2025 Polynésie (Sujet 2)

Cet exercice n°3 du sujet 2 du Baccalauréat 2025 en Polynésie aborde l'un des thèmes majeurs du programme de Terminale : la géométrie dans l'espace rapportée à un repère orthonormé. Il permet d'évaluer la capacité des élèves à manipuler des coordonnées, des vecteurs et des équations pour résoudre des problèmes spatiaux concrets, notamment le calcul de volumes.

Compétences et clés de réussite

Pour traiter cet exercice avec succès, le candidat doit maîtriser plusieurs notions fondamentales :

• Manipulation des vecteurs : Savoir calculer les coordonnées de vecteurs à partir de points et vérifier la colinéarité pour démontrer l'existence d'un plan défini par trois points.
• Produit scalaire et orthogonalité : L'utilisation du produit scalaire est essentielle pour démontrer qu'un triangle est rectangle ou pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan (en vérifiant l'orthogonalité avec deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan).
• Équations de droites et de plans : Il est crucial de savoir passer d'une définition géométrique (point + vecteur normal) à une équation cartésienne de plan, et inversement, d'écrire la représentation paramétrique d'une droite connaissant un point et un vecteur directeur.
• Projeté orthogonal et distance : L'exercice demande de vérifier les coordonnées d'un projeté orthogonal. Cela requiert de comprendre que le vecteur liant un point à son projeté est colinéaire au vecteur normal du plan et que le projeté appartient au plan.
• Calcul de volume : La maîtrise de la formule du volume d'un tétraèdre ($V = \frac{1}{3} \times Base \times Hauteur$) est indispensable, en combinant le calcul d'aire d'un triangle rectangle et la distance calculée précédemment.
• Position relative droite/plan : Enfin, savoir déterminer si une droite est sécante ou parallèle à un plan implique de tester la compatibilité entre la représentation paramétrique de la droite et l'équation cartésienne du plan.

Cet exercice complet mobilise l'ensemble des outils analytiques de la géométrie dans l'espace et nécessite une rédaction rigoureuse pour justifier chaque propriété géométrique utilisée.