Analyse de l'Exercice 1 : Géométrie dans l'Espace - Polynésie 2024 (Sujet 1)

Cet exercice, issu de la session du baccalauréat de Polynésie 2024, Sujet 1, est un classique questionnaire de type Vrai/Faux avec justification. Il porte intégralement sur la géométrie dans l'espace, un chapitre central du programme de Terminale Spécialité Mathématiques. L'objectif est de vérifier la capacité des élèves à manipuler les coordonnées, les équations cartésiennes de plans et les représentations paramétriques de droites dans un repère orthonormé.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas d'avoir de l'intuition géométrique ; il faut maîtriser rigoureusement les calculs vectoriels et les conditions d'appartenance. Voici les savoir-faire essentiels mobilisés :

• Vecteurs et produits scalaires : Savoir calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points et effectuer un produit scalaire pour tester l'orthogonalité.
• Normalité à un plan : Comprendre qu'un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan. C'est la compétence clé pour l'affirmation 1.
• Représentation paramétrique : Savoir interpréter un système d'équations paramétriques pour en extraire un point de passage et un vecteur directeur. Savoir également déterminer si un point donné appartient à une droite en résolvant le système pour trouver une valeur unique du paramètre réel t.
• Positions relatives Droite / Plan : Savoir déterminer si une droite est parallèle à un plan. Cela revient souvent à vérifier si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan.
• Plan médiateur : Maîtriser la définition géométrique du plan médiateur d'un segment (plan perpendiculaire au segment passant par son milieu). Cela implique de savoir calculer les coordonnées d'un milieu et d'utiliser le vecteur formé par les extrémités du segment comme vecteur normal.

Conseils méthodologiques pour chaque affirmation

Dans ce type d'exercice, la rigueur de la justification est primordiale. Une réponse "Vrai" ou "Faux" seule ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Ne vous fiez pas aux apparences. Pour vérifier si le vecteur proposé est normal au plan (OAC), calculez les produits scalaires avec les vecteurs $\vec{OA}$ et $\vec{OC}$. Si les deux résultats sont nuls, l'affirmation est vraie.

Affirmation 2 : Cette question piège teste la définition de l'intersection. Il faut vérifier deux choses : le point C appartient-il à la droite $\mathcal{D}$ ? Et les points A, B, C sont-ils alignés (ce qui définirait la droite (AB)) ? Une simple vérification de coordonnées suffit souvent à invalider ou valider l'hypothèse.

Affirmation 3 : Pour le parallélisme entre la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$, analysez l'orthogonalité entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal du plan (dont les coordonnées se lisent directement dans l'équation cartésienne : $a, b, c$ devant $x, y, z$).

Affirmation 4 : Plutôt que de vérifier si l'équation donnée fonctionne avec le milieu et le vecteur, il est souvent plus sûr de redémontrer l'équation. Calculez le milieu de [BC], le vecteur $\vec{BC}$, et écrivez l'équation du plan passant par ce milieu et de vecteur normal $\vec{BC}$. Comparez ensuite avec l'équation proposée.