Analyse globale de l'exercice

Cet exercice du Baccalauréat 2022 (Métropole, Sujet 2) est un classique incontournable des épreuves de mathématiques, combinant l'analyse de fonctions et l'étude de suites numériques. Il est structuré en trois parties distinctes mais liées, permettant d'évaluer la maîtrise du calcul différentiel, la compréhension du comportement asymptotique des fonctions et la manipulation des suites définies par récurrence du type \(u_{n+1} = f(u_n)\).

La Partie A se concentre sur l'étude purement analytique d'une fonction logarithmique. La Partie B exploite ces résultats pour étudier la convergence d'une suite. Enfin, la Partie C propose une ouverture sur une famille de fonctions paramétrées, demandant une certaine agilité algébrique.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs savoir-faire essentiels du programme de Terminale :

• Calcul de limites et croissances comparées : La fonction \(f(x) = x - x \ln x\) présente une forme indéterminée en \(+\infty\). En 0, il faut se souvenir de la limite usuelle de \(x \ln x\).
• Dérivation et étude des variations : Savoir dériver un produit \(u \times v\) est indispensable ici. L'étude du signe de la dérivée permet de dresser le tableau de variations, outil central pour la suite de l'exercice.
• Raisonnement par récurrence : Dans la Partie B, la démonstration de l'encadrement de la suite \((u_n)\) repose sur l'hérédité. La clé réside dans l'utilisation de la croissance de la fonction \(f\) démontrée précédemment (si \(a < b\), alors \(f(a) < f(b)\) car \(f\) est croissante sur l'intervalle considéré).
• Théorème de convergence monotone : Il faut savoir justifier qu'une suite croissante et majorée converge vers une limite finie.
• Théorème du point fixe : Pour trouver la valeur de la limite, il est nécessaire de résoudre l'équation \(f(\ell) = \ell\), dont la résolution a été préparée en Partie A.
• Gestion des paramètres : La Partie C demande de manipuler une constante \(k\). Il ne faut pas se laisser déstabiliser par cette lettre et appliquer les règles de dérivation habituelles en considérant \(k\) comme un nombre fixe.

Conseils méthodologiques

Dans la Partie A, attention à la rigueur de la rédaction pour les limites. Pour la dérivée, n'oubliez pas que la dérivée de \(x\) est 1 et appliquez soigneusement la formule du produit pour \(x \ln x\). La résolution de \(f(x)=x\) est simple mais fondamentale pour la cohérence avec la Partie B.

Concernant la Partie B, l'erreur classique est de vouloir recalculer les variations de la suite sans utiliser la fonction. Rappelez-vous : si \(u_{n+1} = f(u_n)\) et que \(f\) est croissante, cela aide à propager les inégalités lors de la récurrence, mais cela ne donne pas automatiquement le sens de variation de la suite. C'est l'inégalité \(u_n \leqslant u_{n+1}\) (montrée par récurrence) qui prouve la croissance.

Enfin, pour la Partie C, gardez votre calme face au paramètre \(k\). Exprimez la dérivée \(f'_k(x)\) en fonction de \(k\), trouvez la valeur d'annulation \(x_k\) (qui dépendra de \(k\)) et substituez-la dans l'expression de la fonction pour trouver le maximum \(y_k\).