Exercice de Probabilités : Loi Binomiale et Inégalité de Concentration

Ce deuxième exercice du sujet 1 du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2024 (Métropole) aborde le thème central des probabilités discrètes. Il se décompose en deux parties indépendantes, traitant respectivement d'une loi usuelle et de l'étude d'une somme de variables aléatoires.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser les concepts suivants :

• Modélisation par une Loi Binomiale (Partie A) : Il est essentiel de savoir justifier le choix de cette loi. Les mots-clés attendus sont : épreuve de Bernoulli (succès/échec), répétition de manière identique et indépendante. Il faut ensuite identifier les paramètres $n$ (nombre de répétitions) et $p$ (probabilité du succès).
• Calculs de probabilités cumulées : La question demande la probabilité d'avoir "au moins" un certain nombre de succès ($P(X \ge k)$). L'utilisation efficace de la calculatrice ou le passage par l'événement contraire est indispensable.
• Espérance d'une variable aléatoire : Savoir calculer $E(X) = n \times p$ pour une loi binomiale et surtout interpréter ce résultat concrètement dans le contexte de l'énoncé (ici, une moyenne sur un grand nombre d'échantillons).
• Algèbre des variables aléatoires (Partie B) : Cette partie requiert de manipuler une somme $S$ de variables aléatoires indépendantes ($S = T_1 + T_2 + T_3$). Les propriétés de linéarité de l'espérance ($E(S) = \sum E(T_i)$) et d'additivité de la variance pour des variables indépendantes ($V(S) = \sum V(T_i)$) sont au cœur du raisonnement.
• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : La dernière question demande de minorer une probabilité sur un intervalle centré autour de l'espérance. C'est l'application directe de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Il faut identifier l'écart à la moyenne et utiliser la variance calculée précédemment pour établir la minoration demandée.

Cet exercice est un classique qui vérifie la capacité de l'élève à passer d'un calcul probabiliste standard à une analyse plus théorique sur la dispersion et la concentration des variables aléatoires.