Compétences et clés de réussite

Cet exercice de Baccalauréat (Métropole Septembre 2022, Sujet 2) est un classique incontournable pour les élèves de Terminale spécialité mathématiques. Il couvre une large partie du programme de probabilités en s'appuyant sur une situation concrète de location de vélos. Voici les points clés pour réussir ce type d'épreuve.

1. Modélisation par un arbre pondéré

La première difficulté réside dans la traduction de l'énoncé en un arbre de probabilités. Ici, l'élève doit gérer une inconnue $\alpha$ dès le début de l'arbre. C'est une variante classique : au lieu de donner toutes les valeurs numériques, on demande de manipuler une variable.

Clé de réussite : Il faut être rigoureux sur la notation des événements ($R$, $E$, $\overline{R}$, $\overline{E}$) et se rappeler que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1. L'utilisation de la formule des probabilités totales permet ensuite d'établir une équation pour trouver $\alpha$.

2. Probabilités conditionnelles

L'exercice demande de calculer la probabilité qu'un client ait loué un vélo tout terrain sachant qu'il a loué un vélo électrique. Il s'agit de calculer $P_E(\overline{R})$.

Attention aux confusions : Une erreur fréquente est de confondre $P_E(\overline{R})$ (probabilité de $\overline{R}$ sachant $E$) et $P_{\overline{R}}(E)$ (probabilité de $E$ sachant $\overline{R}$, qui est donnée dans l'arbre). La maîtrise de la formule de définition $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ est indispensable.

3. Variable aléatoire et Espérance

La seconde partie introduit une variable aléatoire $X$ représentant le prix de la location. C'est une application directe du cours qui nécessite de :

• Identifier les valeurs possibles de $X$ en fonction des différents cas (Route/VTT, Électrique/Non-électrique).
• Associer à chaque valeur sa probabilité (Loi de probabilité).
• Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.

L'interprétation de l'espérance est toujours attendue : elle représente le coût moyen par client sur un grand nombre de locations.

4. La Loi Binomiale

La dernière partie traite de la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes (tirage avec remise). L'élève doit :

• Justifier l'utilisation de la loi binomiale en citant les paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
• Utiliser la calculatrice pour déterminer des probabilités ponctuelles $P(Y=k)$ ou cumulées $P(Y \geqslant k)$.

Pour le calcul de $P(Y \geqslant 15)$, il est crucial de savoir passer par l'événement contraire ou d'utiliser les fonctions de répartition de la calculatrice correctement.