Oui
Géométrie dans l'espace
Vecteurs
Produit scalaire
Équation cartésienne de plan
Représentation paramétrique de droite
Intersection droite-plan
Section de cube
Sujet Bac Corrigé - Géométrie dans l'espace - Métropole Septembre - 2021 - Ex 4 - Corrigé
31 août 2021
Terminale Spécialité
Prêt à dompter l'espace ? 🚀 Plonge au cœur d'un cube avec cet exercice incontournable de Géométrie dans l'espace. C'est le terrain de jeu idéal pour réviser tes classiques et booster ta confiance avant le jour J ! 🧠
Au programme de ce défi :
- Maîtriser les coordonnées et les vecteurs normaux pour prouver tes talents de géomètre.
- Établir une équation cartésienne de plan et jongler avec les représentations paramétriques de droites. ✅
- Le crash-test final : une construction géométrique sur annexe pour valider ta vision 3D !
⚠️ Attention au piège : l'intersection de la droite et du plan demande de la précision. Sauras-tu trouver le point L sans faire d'erreur de calcul ? 🔥 Relève le défi et deviens le maître du cube !
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Compétences et clés de réussite
Cet exercice de géométrie dans l'espace, tiré de la session de remplacement de septembre 2021 en Métropole, mobilise les connaissances fondamentales sur le repérage spatial, les vecteurs et les configurations géométriques dans un cube.
1. Maîtriser le repérage dans un cube
La première étape consiste à déterminer les coordonnées de points définis par des relations vectorielles. Dans un repère orthonormé associé à un cube (ici $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$), il est essentiel de savoir traduire une égalité vectorielle du type $\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{AD} + z\vec{AE}$ directement en coordonnées $(x; y; z)$. Une lecture graphique attentive couplée à une rigueur algébrique est nécessaire pour placer correctement les points I, J et K.
2. Vecteur normal et équation cartésienne
L'une des compétences clés évaluées est la capacité à démontrer qu'un vecteur est normal à un plan. Pour ce faire, l'élève doit prouver, à l'aide du produit scalaire, que ce vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires formant la base du plan (par exemple $\vec{IJ}$ et $\vec{IK}$). Une fois le vecteur normal identifié (ici $\vec{AG}$), l'obtention de l'équation cartésienne du plan se fait classiquement en utilisant la forme $ax + by + cz + d = 0$ et en déterminant $d$ grâce aux coordonnées d'un point appartenant au plan.
3. Intersection Droite-Plan
L'exercice demande de trouver l'intersection entre la droite (BC) et le plan (IJK). La méthode standard requiert deux étapes :
- Établir une représentation paramétrique de la droite (BC).
- Injecter les expressions de $x$, $y$ et $z$ (en fonction du paramètre) dans l'équation cartésienne du plan trouvée précédemment.
La résolution de l'équation du premier degré permet de trouver la valeur du paramètre, et ainsi les coordonnées du point d'intersection L.
4. Construction et Coplanarité
La partie finale de l'exercice relie le calcul à la visualisation géométrique. Il s'agit de tracer la section du cube par le plan (IJK). Pour vérifier si quatre points sont coplanaires (I, J, L et M), la méthode la plus efficace est souvent analytique : il suffit de vérifier si les coordonnées du quatrième point vérifient l'équation cartésienne du plan formé par les trois autres.