Compétences et clés de réussite

Cet exercice de géométrie dans l'espace, extrait du sujet du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2021 (Métropole, Sujet 2), se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Il aborde des notions fondamentales concernant les droites, les plans et leurs positions relatives dans un repère orthonormé. Pour réussir ce type d'exercice, il est crucial de maîtriser plusieurs savoir-faire techniques et analytiques.

1. Manipulation des représentations paramétriques

La première compétence testée est la capacité à identifier l'appartenance d'un point à une droite définie par une représentation paramétrique. L'élève doit savoir substituer les coordonnées d'un point candidat dans le système d'équations. La réussite repose sur la vérification de l'existence d'une valeur unique du paramètre réel t satisfaisant simultanément les trois équations (x, y, z). Une incohérence dans le calcul du paramètre pour l'une des coordonnées suffit à rejeter la réponse.

2. Identification des vecteurs directeurs

Savoir extraire un vecteur directeur à partir d'une représentation paramétrique est un automatisme essentiel. Pour une droite définie par un système linéaire dépendant d'un paramètre t, les coefficients multiplicateurs de ce paramètre correspondent directement aux composantes du vecteur directeur. L'élève doit être capable de lire ces valeurs sans erreur de signe et de les comparer aux propositions, en tenant compte de la colinéarité éventuelle (un vecteur directeur peut être un multiple de celui trouvé).

3. Positions relatives de deux droites dans l'espace

L'analyse de la position relative de deux droites (sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires) demande une méthode rigoureuse. Il faut d'abord examiner la colinéarité de leurs vecteurs directeurs. Si les vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites ne sont ni parallèles ni confondues. Il reste alors à déterminer si elles sont sécantes (existence d'un point d'intersection unique en résolvant un système) ou non coplanaires (aucun point commun et vecteurs non colinéaires). Cette étape nécessite souvent de poser un système d'équations pour chercher une intersection.

4. Parallélisme entre droite et plan

La dernière question lie la géométrie vectorielle à l'analyse cartésienne. Comprendre la condition de parallélisme entre une droite et un plan est fondamental : une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. L'exercice demande d'identifier le vecteur normal à partir de l'équation cartésienne du plan (qui contient ici un paramètre m) et d'effectuer un produit scalaire avec le vecteur directeur de la droite. La résolution de l'équation résultant de l'annulation du produit scalaire permet de trouver la valeur du paramètre réel cherchée.

En résumé, cet exercice mobilise la lecture efficace des données géométriques et la maîtrise du calcul vectoriel (colinéarité, orthogonalité, produit scalaire). La rapidité et la précision sont les clés pour maximiser les points sur ce format QCM.