Analyse de l'Exercice 4 : Géométrie dans l'espace - Bac 2022 Madagascar Sujet 1

L'exercice 4 du sujet de Madagascar (Sujet 1) de l'épreuve de spécialité mathématiques 2022 est un problème classique et complet de géométrie dans l'espace. Il mobilise l'ensemble des connaissances attendues en Terminale concernant le repérage, les plans et les droites, avec une ouverture finale sur les ensembles de points (sphère).

Cet exercice permet de vérifier la capacité des élèves à manipuler des coordonnées dans un repère orthonormé et à passer de la géométrie vectorielle aux équations algébriques. Il est structuré en plusieurs parties progressives, allant des calculs de base vers des déductions géométriques plus abstraites concernant des plans médiateurs.

Compétences et clés de réussite

Pour réussir cet exercice, le candidat doit maîtriser plusieurs compétences techniques fondamentales :

• Calcul vectoriel de base : Savoir déterminer les coordonnées du milieu d'un segment et les composantes d'un vecteur est le point de départ indispensable.
• Détermination d'une équation cartésienne de plan : Il s'agit d'une compétence centrale. L'élève doit savoir utiliser un point du plan et un vecteur normal. Ici, le lien est fait entre la définition géométrique (plan passant par un point et orthogonal à un vecteur) et l'équation de la forme ax + by + cz + d = 0.
• Intersection de deux plans : L'exercice demande de justifier que deux plans sont sécants, ce qui revient souvent à observer que leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Ensuite, il faut être capable de caractériser cette intersection, qui est une droite.
• Représentation paramétrique d'une droite : Le candidat doit savoir vérifier ou établir une représentation paramétrique. La méthode consiste souvent à poser une des coordonnées comme paramètre (par exemple z = t) dans le système formé par les équations des deux plans, ou à vérifier que le système paramétrique proposé satisfait les équations cartésiennes.
• Intersection droite-plan : Trouver le point d'intersection entre une droite (donnée par sa représentation paramétrique) et un plan (donné par son équation cartésienne) demande de substituer les expressions de x, y et z en fonction de t dans l'équation du plan pour trouver la valeur du paramètre.
• Reconnaissance d'ensembles de points : La dernière partie fait appel à la notion de plan médiateur (ensemble des points équidistants de deux points) pour démontrer l'appartenance de points à une même sphère. Il faut savoir interpréter géométriquement l'égalité des distances pour identifier le centre et le rayon de cette sphère.

En résumé, cet exercice nécessite de la rigueur dans les calculs algébriques et une bonne vision des objets géométriques dans l'espace. La clé est de bien comprendre le lien entre vecteur normal et coefficients de l'équation cartésienne.