Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat 2023 (La Réunion, Sujet 1) est un classique incontournable pour les élèves de Terminale Spécialité Mathématiques. Il aborde deux piliers majeurs du programme : les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires discrètes, le tout ancré dans une situation concrète de prospection commerciale. Voici les points techniques essentiels pour réussir cet exercice.

1. Maîtrise des arbres pondérés et des probabilités totales

La première partie de l'exercice repose sur la modélisation d'une expérience aléatoire séquentielle. La clé de la réussite réside dans la construction rigoureuse de l'arbre pondéré. L'élève doit distinguer clairement les événements successifs (décrocher au premier appel, puis éventuellement au second) et l'événement final (achat du produit). Une lecture attentive de l'énoncé est nécessaire pour placer correctement les probabilités sur les branches primaires et secondaires.

Pour calculer la probabilité globale d'achat, il faut mobiliser la formule des probabilités totales. Cela implique d'identifier les différents chemins menant au succès (l'achat) et d'additionner leurs probabilités respectives. Enfin, la dernière question de la partie A fait appel à la notion de probabilité « sachant que » inversée (type formule de Bayes), demandant de remonter l'arbre pour trouver la probabilité d'une cause sachant la conséquence.

2. Loi binomiale et paramètres

La seconde partie bascule vers l'étude d'un échantillon, signalant immédiatement l'utilisation de la loi binomiale. Les compétences attendues ici sont :

• La justification du modèle : répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
• L'identification précise des paramètres $n$ (taille de l'échantillon) et $p$ (probabilité du succès calculée en partie A).
• L'application des formules pour calculer une probabilité ponctuelle $P(X=k)$ et l'espérance mathématique $E(X)$.

3. Résolution d'inéquation avec seuil de probabilité

La question finale est un standard des sujets de Bac : déterminer la taille d'échantillon $n$ nécessaire pour obtenir au moins un succès avec une probabilité donnée (ici 0,99). La méthode experte consiste à passer par l'événement contraire « aucun achat ». L'inéquation résultante $1 - P(X=0) \geq 0,99$ nécessite souvent l'utilisation du logarithme népérien pour isoler l'inconnue $n$ qui se trouve en exposant. Une attention particulière doit être portée au sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif (logarithme d'une probabilité).

En résumé, cet exercice vérifie la capacité du candidat à modéliser une situation réelle, à manipuler les outils probabilistes fondamentaux et à résoudre des problèmes d'échantillonnage avec rigueur.