Compétences et clés de réussite

Cet exercice, issu du Sujet 2 du Baccalauréat 2024 pour les Centres Étrangers, aborde de manière classique mais complète la géométrie dans l'espace. Il s'appuie sur la configuration familière d'un cube pour évaluer la capacité des élèves à manipuler des coordonnées, des vecteurs et des équations géométriques.

Repérage et calculs vectoriels

La première étape cruciale est la lecture correcte des coordonnées dans un repère orthonormé défini par les arêtes du cube. Une erreur d'inattention ici (notamment sur les milieux de segments) peut compromettre la suite. L'élève doit ensuite démontrer l'orthogonalité entre une droite et un plan. Pour cela, la méthode standard consiste à prouver que le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, en utilisant le produit scalaire.

Équations cartésiennes et paramétriques

L'exercice demande de passer d'une vision géométrique à une vision algébrique en déterminant :

• L'équation cartésienne d'un plan : Connaissant un vecteur normal (établi à la question précédente) et un point du plan, il s'agit d'appliquer la forme ax + by + cz + d = 0.
• La représentation paramétrique d'une droite : Il faut identifier un point de passage et un vecteur directeur pour exprimer les coordonnées x, y, z en fonction d'un paramètre réel t.

Projections, Volumes et Aires

La dernière partie de l'exercice mobilise des notions métriques. Le calcul des coordonnées du projeté orthogonal est une application directe de l'intersection entre une droite (définie par sa représentation paramétrique) et un plan (défini par son équation cartésienne).

Enfin, le calcul du volume d'une pyramide suit la formule classique $\frac{1}{3} \times \text{Base} \times \text{Hauteur}$. L'originalité de cet exercice réside dans la déduction finale : utiliser le volume calculé et une hauteur connue pour retrouver l'aire d'une face (triangle FHI), inversant ainsi la logique habituelle. Cette démarche demande une bonne maîtrise des relations entre les grandeurs géométriques.