Compétences et clés de réussite

Cet exercice se présente sous la forme classique d'un Vrai/Faux, souvent redouté mais extrêmement formateur, car il exige non seulement de deviner la réponse, mais surtout de la justifier avec rigueur. Une affirmation mathématique n'est acceptée que si elle est prouvée dans le cas général ou réfutée à l'aide d'un contre-exemple précis. Ce format balaye plusieurs champs disciplinaires du programme de spécialité mathématiques de Terminale.

Analyse de fonctions : Convexité et dérivation

La première affirmation porte sur l'étude de la convexité d'une fonction composée faisant intervenir une puissance. Pour réussir cette question, l'élève doit maîtriser le calcul de la dérivée première puis de la dérivée seconde. La règle de dérivation d'une fonction de la forme $u^n$ est ici centrale. Une fois l'expression de la dérivée seconde obtenue, il est impératif d'étudier rigoureusement son signe sur l'ensemble des réels afin de conclure quant à la convexité ou la concavité de la fonction initiale. La vigilance est de mise concernant les signes négatifs qui peuvent se glisser lors de l'application de la règle de la chaîne.

Dénombrement et combinatoire

La deuxième affirmation transporte le candidat dans l'univers du dénombrement, avec un problème de tirage simultané sans remise, modélisé par des combinaisons. L'enjeu est de dénombrer le nombre de sous-ensembles (tirages) satisfaisant une condition précise : « contenir au moins un multiple de 8 ». La stratégie la plus efficace consiste bien souvent à passer par l'événement contraire, c'est-à-dire calculer le nombre total de tirages possibles, puis y soustraire le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8. Cette compétence nécessite d'identifier correctement la taille de la population globale et celle de la sous-population étudiée.

Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

La troisième affirmation teste la capacité de l'élève à lire, compléter et exploiter un arbre de probabilités. La maîtrise de la loi des probabilités totales est indispensable pour déterminer la probabilité d'un événement situé à l'extrémité de l'arbre. De plus, le calcul d'une probabilité conditionnelle « à l'envers » (probabilité d'une cause sachant l'effet) requiert l'utilisation habile de la définition élémentaire de la probabilité conditionnelle sous la forme du quotient de l'intersection par la probabilité de la condition. Savoir manipuler des fractions est ici essentiel pour éviter les erreurs de calcul.

Équations différentielles du premier ordre

Enfin, les deux dernières affirmations explorent le domaine des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre. Il s'agit tout d'abord de vérifier si une fonction donnée est une solution particulière de l'équation, ce qui demande de savoir dériver correctement un produit de fonctions intégrant des exponentielles et des fonctions trigonométriques. Ensuite, il est attendu de connaître la structure de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire, à savoir la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière. La confusion entre ces deux étapes est un piège classique à éviter pour conclure efficacement ce type d'exercice pluridisciplinaire.