L'exercice 3 du sujet du Baccalauréat de mathématiques d'Asie 2026 (Sujet 1) est un grand classique incontournable des épreuves terminales. Entièrement consacré à la géométrie dans l'espace, il évalue de manière exhaustive la capacité des candidats à manipuler les vecteurs, les plans et les droites dans un repère orthonormé en trois dimensions. Ce type d'exercice requiert à la fois de la rigueur calculatoire et une bonne vision spatiale afin de lier les concepts algébriques aux réalités géométriques.

Dans la première partie de l'exercice, l'objectif est de définir un plan à partir de trois points donnés. Le candidat doit d'abord vérifier que les points ne sont pas alignés, ce qui passe par l'étude de la colinéarité des vecteurs. Ensuite, l'exercice demande de justifier qu'un vecteur précis est normal au plan formé. Cette étape est cruciale car elle permet d'établir directement l'équation cartésienne du plan sous la forme ax + by + cz + d = 0, une compétence fondamentale évaluée chaque année au Bac.

La deuxième partie introduit un nouveau point et soulève le problème de la coplanarité. En prouvant que certains vecteurs ne sont pas coplanaires, on déduit des propriétés géométriques importantes, notamment le fait qu'une droite et un plan sont sécants. C'est ici que le candidat doit mobiliser ses connaissances sur les positions relatives dans l'espace, en construisant un raisonnement déductif clair et précis, s'appuyant sur les outils vectoriels.

La suite du problème aborde la caractérisation analytique d'une droite via sa représentation paramétrique. Une fois cette représentation établie, la méthode classique de recherche d'intersection entre une droite et un plan entre en jeu : il s'agit d'injecter les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation cartésienne du plan pour trouver la valeur du paramètre réel t, puis de remonter aux coordonnées exactes du point d'intersection. L'exercice se termine en beauté par la recherche de l'intersection de deux plans, ce qui nécessite la résolution d'un système d'équations pour aboutir, géométriquement, à l'expression d'une droite.

Compétences et clés de réussite

• Maîtriser le calcul vectoriel : Savoir calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, et vérifier la colinéarité ou la non-colinéarité pour prouver l'alignement ou définir un plan.
• Manipuler le produit scalaire : Savoir utiliser le produit scalaire analytique (xx' + yy' + zz') pour prouver l'orthogonalité de vecteurs, et ainsi démontrer qu'un vecteur est normal à un plan.
• Déterminer une équation de plan : Savoir exploiter les coordonnées d'un vecteur normal et d'un point appartenant au plan pour trouver les coefficients de l'équation cartésienne.
• Établir une représentation paramétrique : Savoir traduire le passage par un point et la direction donnée par un vecteur directeur sous forme d'un système de trois équations dépendant d'un paramètre t.
• Résoudre des problèmes d'intersection : Connaître par cœur la méthode d'insertion d'un système paramétrique (droite) dans une équation cartésienne (plan) pour trouver le point de percée.
• Comprendre l'intersection de plans : Savoir que l'intersection de deux plans sécants est une droite et savoir déterminer la représentation paramétrique de cette droite d'intersection.