Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques (Asie 2025, Sujet 2) aborde un classique de l'analyse : l'étude de suites numériques couplée à de l'algorithmique. Il permet de tester la rigueur des candidats sur la manipulation des suites arithmético-géométriques et la compréhension fine des boucles en programmation.

1. Maîtriser les suites auxiliaires

La Partie A est une application standard du cours sur les suites. L'objectif est de transformer une relation de récurrence affine ($u_{n+1} = a u_n + b$) en une suite géométrique via une suite auxiliaire ($v_n$). Pour réussir, il faut :

• Savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport $v_{n+1} / v_n$.
• Exprimer correctement le terme général en fonction de $n$ ($v_n = v_0 \times q^n$).
• En déduire l'expression de la suite initiale et calculer sa limite en utilisant les propriétés des limites de $q^n$ lorsque $-1 < q < 1$.

2. Analyse de code Python et algorithmique

La Partie B introduit une dimension informatique cruciale. L'exercice demande de repérer une erreur logique dans un script Python calculant les termes d'une suite. La clé de la réussite réside dans la capacité à réaliser une trace d'exécution (ou tableau de suivi des variables) pas à pas. Il faut comprendre l'ordre séquentiel des instructions : si une variable est mise à jour trop tôt dans une boucle, elle fausse le calcul des variables suivantes qui dépendent de son ancienne valeur. C'est un piège classique de l'affectation en programmation.

3. Raisonnement par récurrence et limites

La fin de l'exercice mobilise deux compétences analytiques majeures :

• Le raisonnement par récurrence : Il s'agit de valider une formule explicite complexe. La rédaction doit être impeccable : initialisation, hérédité (en utilisant les relations de récurrence données) et conclusion.
• Le théorème des gendarmes (ou d'encadrement) : L'exercice fournit une inégalité permettant d'encadrer une partie de l'expression de la suite. L'élève doit savoir identifier les termes qui tendent vers 0 (comme $\frac{1}{n}$ ou $(0,5)^n$) pour conclure sur la convergence de la suite globale.

En résumé, cet exercice demande une bonne aisance avec le calcul algébrique et une logique algorithmique solide. Il ne présente pas de difficulté théorique majeure mais exige une grande attention aux détails, notamment dans l'ordre des opérations du script Python.