Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2022 (Amérique du Sud, Sujet 2) est un classique incontournable portant sur la modélisation de l'évolution d'une population à l'aide des suites numériques. Il mobilise plusieurs compétences fondamentales du programme de Terminale.

1. Modélisation et relation de récurrence

La première étape consiste à traduire un problème concret (diminution en pourcentage et ajout constant) en langage mathématique. Il faut maîtriser les cœfficients multiplicateurs associés aux variations en pourcentage (ici une baisse de 10 %) pour établir une relation de la forme u_{n+1} = a*u_n + b. C'est le point de départ de l'étude d'une suite arithmético-géométrique.

2. Raisonnement par récurrence

L'exercice demande de démontrer une propriété d'encadrement et de décroissance pour tout entier naturel n. Le candidat doit maîtriser parfaitement la structure de la démonstration par récurrence :

• Initialisation : Vérifier la propriété au rang 0.
• Hérédité : Supposer la propriété vraie au rang k et démontrer qu'elle reste vraie au rang k+1 en utilisant la relation de récurrence établie précédemment.
• Conclusion : Rappeler la validité de la propriété pour tout entier naturel.

3. Suites auxiliaires et formes explicites

Une technique standard est utilisée ici : l'introduction d'une suite auxiliaire (v_n) définie par v_n = u_n - L (où L est la limite potentielle). Le but est de prouver que cette nouvelle suite est géométrique. Cela permet d'exprimer v_n puis u_n en fonction de n. La maîtrise des propriétés des suites géométriques (raison, premier terme, formule explicite) est indispensable.

4. Calcul de limites

Une fois la forme explicite obtenue, il faut savoir calculer la limite de la suite. Cela repose sur la connaissance des limites de suites de la forme q^n. Si -1 < q < 1, la limite est nulle. L'interprétation concrète de ce résultat dans le contexte de l'exercice (stabilisation de la population) est souvent attendue.

5. Algorithmique et Python

La dernière partie aborde la recherche de seuil. Il s'agit de déterminer quand la population passera sous une certaine valeur. Mathématiquement, cela revient à résoudre une inéquation faisant intervenir des puissances (souvent résolue par logarithme ou tâtonnement). Informatiquement, cela se traduit par l'écriture d'une boucle while (tant que). Le candidat doit savoir compléter la condition de la boucle et l'incrémentation des variables pour que la fonction retourne le nombre d'années nécessaires.