Analyse du sujet : Exponentielle, Intégrales et Aires

Cet exercice du Baccalauréat 2024, session d'Amérique du Sud (Sujet 2), propose une étude complète mêlant analyse fonctionnelle et calcul intégral. Il est structuré de manière classique, où chaque partie alimente la suivante, demandant aux candidats une bonne maîtrise des liens entre les fonctions, leurs primitives et l'interprétation géométrique des intégrales.

Compétences et clés de réussite

1. Étude de fonction exponentielle

La première partie est consacrée à l'étude d'une fonction de la forme $P(x)e^{-x}$. Les compétences requises incluent :

• Calcul de limites : Il faut savoir gérer les formes indéterminées en $+\infty$, souvent par croissances comparées, et comprendre le comportement en $-\infty$.
• Dérivation : La fonction est un produit $u \times v$. Une application rigoureuse de la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est nécessaire, suivie d'une factorisation par l'exponentielle pour étudier le signe de la dérivée.
• Tableau de variations : L'étude du signe du polynôme du second degré obtenu dans la dérivée permet de dresser le tableau complet.

2. Suites d'intégrales et Intégration par Parties (IPP)

La deuxième partie introduit une suite $(I_n)$ définie par une intégrale. C'est un grand classique des sujets de Bac. Les points clés sont :

• Calcul direct : Le calcul de $I_0$ nécessite de connaître une primitive simple de $e^{-x}$.
• Intégration par parties : C'est le cœur de cette partie. L'élève doit savoir poser correctement $u(x)$ et $v'(x)$ pour établir une relation de récurrence entre $I_{n+1}$ et $I_n$. La rigueur dans l'écriture des crochets et de l'intégrale résiduelle est primordiale.
• Calcul de termes : Utiliser la relation de récurrence démontrée pour trouver les valeurs exactes de $I_1$ et $I_2$ en cascade.

3. Application au calcul d'aire

La dernière partie fait la synthèse. Elle demande d'abord d'étudier le signe de la fonction initiale (utile pour vérifier la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses), puis de calculer l'aire d'un domaine délimité par la courbe.

La clé de réussite ici est de remarquer le lien entre l'expression de la fonction $f(x) = (x^2 - 4)e^{-x}$ et les intégrales $I_n$ calculées précédemment. En effet, par linéarité de l'intégrale, l'aire cherchée peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de $I_2$ et $I_0$. Cette astuce évite de recalculer une primitive complexe et valorise la cohérence de l'exercice.

En résumé, cet exercice numéro 3 du sujet 2 d'Amérique du Sud 2024 est un excellent entraînement pour consolider les techniques d'intégration par parties et l'étude des fonctions exponentielles.