Compétences et clés de réussite

Cet exercice du baccalauréat de Spécialité Mathématiques (Session 2022, Amérique du Sud, Sujet 1) propose une étude classique mais complète des probabilités discrètes, divisée en trois parties progressives. Il permet de réviser les fondamentaux de la modélisation probabiliste et l'application de la loi binomiale dans un contexte industriel.

1. Modélisation et Probabilités Conditionnelles (Partie A)

La première partie exige une maîtrise parfaite de la représentation des situations aléatoires par un arbre pondéré. C'est l'outil indispensable pour visualiser les évènements successifs (ici, la présence d'un danger puis le déclenchement de l'alarme). Les compétences clés sollicitées sont :

• La traduction de l'énoncé en langage probabiliste (identifier $P(A)$, $P_D(A)$, etc.).
• L'utilisation de la formule des probabilités composées pour calculer l'intersection de deux évènements.
• Le calcul de probabilités conditionnelles "inverses" (par exemple, calculer $P_A(D)$ alors que l'arbre donne naturellement $P_D(A)$). Cela nécessite une application rigoureuse de la définition de la probabilité conditionnelle.
• La compréhension de la formule des probabilités totales (souvent implicite pour compléter l'arbre ou vérifier des données).
• L'analyse d'événements complexes, comme le dysfonctionnement d'un système, qui correspond ici à l'union de deux intersections disjointes (Faux positif et Faux négatif).

2. Loi Binomiale (Partie B)

La seconde partie bascule sur la répétition d'épreuves indépendantes, modélisant un prélèvement avec remise. Pour réussir cette section, le candidat doit :

• Reconnaître et justifier l'usage de la loi binomiale en identifiant les épreuves de Bernoulli (Succès/Echec), l'indépendance des tirages et les paramètres $n$ (nombre d'essais) et $p$ (probabilité du succès).
• Appliquer la formule générale $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ pour calculer la probabilité d'un nombre exact de pannes.
• Calculer la probabilité de l'événement "au moins un" ($P(X \ge 1)$). La clé de la réussite réside ici dans le passage par l'événement contraire : $1 - P(X=0)$, méthode beaucoup plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul que l'addition des probabilités individuelles.

3. Recherche de seuil (Partie C)

Enfin, la dernière question est un classique des sujets de bac : déterminer la taille de l'échantillon $n$ pour atteindre une certaine probabilité. Cela conduit à résoudre une inéquation où l'inconnue est en exposant. La maîtrise des propriétés du logarithme népérien (notamment $\ln(a^n) = n\ln(a)$) et des règles sur les inégalités (inversion du sens de l'inégalité lors de la division par un nombre négatif, comme le logarithme d'un nombre entre 0 et 1) est indispensable pour conclure rigoureusement.