Compétences et clés de réussite

Cet exercice du Baccalauréat Spécialité Mathématiques, tiré de la session 2022 pour l'Amérique du Nord (Sujet 2), est un classique de l'analyse de fonctions. Il mobilise des compétences centrales du programme de Terminale, notamment l'étude de la fonction exponentielle couplée à des notions de convexité. L'exercice est structuré en deux parties interdépendante, une configuration fréquente où l'étude d'une fonction auxiliaire sert à résoudre le problème principal.

1. Étude d'une fonction polynôme auxiliaire (Partie A)

La première partie demande une maîtrise parfaite de l'étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3. Les élèves doivent être capables de :

• Calculer la dérivée d'un polynôme et étudier son signe (ici un trinôme du second degré).
• Dresser un tableau de variations complet sur un intervalle donné.
• Appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI), plus précisément son corollaire concernant l'unicité de la solution, pour démontrer l'existence d'un réel $\alpha$ tel que $p(\alpha) = 0$.
• Utiliser la calculatrice pour obtenir un encadrement ou une valeur approchée (balayage ou dichotomie).
• En déduire le tableau de signes de la fonction, étape cruciale pour la suite de l'exercice.

2. Analyse de la fonction principale et convexité (Partie B)

La seconde partie s'intéresse à une fonction $f$ définie par un quotient impliquant l'exponentielle. C'est ici que la technicité du calcul de dérivées est testée.

Calculs de dérivées

Le candidat doit maîtriser la formule de dérivation d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ tout en manipulant correctement la fonction exponentielle ($e^x$). Une erreur de signe ou de développement à cette étape peut compromettre la suite.

Convexité et Points d'inflexion

Le cœur du problème réside dans l'étude de la convexité de la fonction $f$ pour répondre à une problématique concrète (la conception d'un toboggan). Pour cela, il est nécessaire d'analyser la dérivée seconde $f''$. L'énoncé fournit l'expression de $f''(x)$ en fonction de $p(x)$ (la fonction étudiée en Partie A). La réussite de cette question dépend de la capacité de l'élève à :

• Faire le lien entre le signe de la dérivée seconde et le signe de $p(x)$ établi précédemment.
• Identifier les changements de signe de $f''$ qui caractérisent les points d'inflexion.
• Interpréter graphiquement ces résultats dans le contexte de la modélisation (sensations sur le toboggan).

En résumé, cet exercice vérifie la capacité à mener une étude locale (variations, signe) et globale (convexité) tout en connectant des résultats mathématiques abstraits à une situation pseudo-réelle.