Analyse Pédagogique de l'Exercice

Cet exercice issu de la session de septembre 2023 en Nouvelle-Calédonie est une étude de fonction exemplaire pour les élèves de STL et STI2D. Il combine l'analyse mathématique pure (étude de la fonction exponentielle) et l'application numérique via l'outil informatique. La structure de l'exercice est progressive : elle commence par une approche visuelle et graphique, passe par une phase de démonstration rigoureuse par le calcul, pour finir sur une implémentation algorithmique en Python.

La Fonction Exponentielle au Cœur du Sujet

La fonction $f(x) = e^{-x} + 0,5x - 3$ présente une difficulté classique : la croissance comparée. À l'infini, le terme $e^{-x}$ tend vers 0, ce qui laisse le terme linéaire $0,5x$ dominer le comportement de la courbe. Cette compréhension des limites est cruciale pour anticiper l'asymptote oblique et le comportement asymptotique global. L'analyse du point de contact avec l'axe des ordonnées (point D) permet de valider la compréhension des ordonnées à l'origine et des coefficients directeurs de tangentes.

Compétences Techniques et Algorithmiques

L'une des forces de ce sujet est l'intégration de la programmation. La question 5 demande une interprétation concrète d'une boucle while. Ici, l'algorithme cherche par balayage (méthode de dichotomie simplifiée) la valeur pour laquelle la fonction change de signe, correspondant à l'intersection avec l'axe des abscisses (point A). La modification demandée en question 6 teste la capacité de l'élève à adapter un script : pour trouver le point B, il faut ajuster la condition d'arrêt et le point de départ en tenant compte de la croissance de la fonction sur cet intervalle.

Points de Vigilance pour l'Examen

• La dérivation : Ne pas oublier le signe moins lors de la dérivation de $e^{-x}$, qui devient $-e^{-x}$.
• L'interprétation graphique : Une lecture graphique du nombre dérivé $f'(0)$ correspond à la pente de la tangente au point d'abscisse 0.
• Syntaxe Python : Respecter l'indentation et les opérateurs de comparaison dans la réponse écrite.