Analyse de l'exercice : Modélisation cinétique en STL

Cet exercice, issu du sujet zéro du Bac STL 2021 (spécialité Physique-Chimie et Mathématiques), est un cas d'école sur l'application des équations différentielles linéaires du premier ordre à un système physique. L'objectif est de modéliser la vitesse de déplacement d'une molécule de glycine lors d'une électrophorèse. Ce type de problème est fondamental car il fait le pont entre l'analyse mathématique et la réalité du laboratoire.

Compétences techniques et mathématiques

Pour réussir cette épreuve, l'élève doit maîtriser plusieurs points clés :

• Résolution d'équations différentielles : Passer de la forme $v'(t) = b - av(t)$ à la solution générale $v(t) = Ce^{-at} + b/a$. Ici, les coefficients sont exprimés en notation scientifique, ce qui demande une grande rigueur dans les calculs.
• Conditions initiales : L'exploitation de $v(0) = 0$ est cruciale pour déterminer la constante d'intégration $C$ et aboutir à la solution particulière.
• Comportement asymptotique : Le calcul de la limite en $+\infty$ permet d'identifier la vitesse limite de la molécule, un concept physique majeur où les forces de frottement compensent la force motrice.
• Constante de temps : La recherche de $t_0$ correspondant à 63% de la vitesse limite renvoie directement à la notion de constante de temps $\tau = 1/a$.

Analyse pédagogique

La difficulté majeure de cet exercice ne réside pas dans la complexité de la structure mathématique, mais dans la manipulation de puissances de 10 importantes ($10^6$ et $10^9$). L'élève doit comprendre que le terme exponentiel décroît extrêmement vite, ce qui signifie que le régime permanent (vitesse limite) est atteint de manière quasi instantanée à l'échelle humaine. Comparer ce temps $t_0$ à la durée d'une expérience de laboratoire souligne la pertinence du modèle : l'accélération est négligeable sur la durée totale de la séparation.