Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice, issu du Bac STL Mayotte 2022, est une étude de cas classique de modélisation mathématique appliquée à la cinétique chimique. Le sujet porte sur la décomposition du méthyltrichlorosilane (MTS) pour produire du carbure de silicium (SiC), un matériau haute performance utilisé dans le spatial (télescope Herschel). L'enjeu ici est de traduire un phénomène physique de décomposition en outils mathématiques maîtrisés : dérivation, étude de signe et résolution d'équations logarithmiques.

Compétences Techniques et Mathématiques Requises

Le candidat doit mobiliser plusieurs compétences clés du programme de Terminale STL et STI2D :

• La dérivation des fonctions composées : Savoir dériver la forme e^(u(x)). Ici, la fonction de concentration est de la forme C(t) = A.e^(kt). La dérivation donne C'(t) = A.k.e^(kt).
• L'étude de la vitesse de réaction : Comprendre que la vitesse de disparition est l'opposé de la dérivée de la concentration. L'analyse de sa variation nécessite l'étude du signe de la dérivée seconde (donnée dans l'énoncé).
• Résolution d'équations avec le logarithme népérien : Pour isoler la variable t dans une égalité de type e^kt = y, l'utilisation de la fonction ln est indispensable.

Interprétation des résultats

La question 5 demande d'établir C'(t) = -0,0105.e^{-0,035t}. Ce résultat négatif confirme la décroissance de la concentration de MTS au cours du temps. En question 6, le signe de C''(t) étant positif, on en déduit que la dérivée de la vitesse de disparition est négative (car v(t) = -C'(t)), signifiant que la réaction ralentit progressivement à mesure que le réactif s'épuise. Enfin, le calcul du temps d'arrêt de la transformation (10% de la concentration initiale) mène à la résolution de e^{-0,035t} = 0,1, soit t = ln(0,1)/(-0,035), ce qui donne environ 66 minutes. Cette approche transdisciplinaire entre mathématiques et chimie est le cœur de l'esprit des séries STI2D et STL.