Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice, extrait de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STL 2023 (Réunion), constitue une application directe et concrète des mathématiques à la chimie expérimentale. Il porte sur la modélisation de la vitesse de disparition d'un réactif, le saccharose, lors d'une réaction d'hydrolyse. Pour un élève de terminale STL, cet exercice est un classique indispensable car il fait le pont entre le cours de chimie sur la cinétique d'ordre 1 et le cours de mathématiques sur les équations différentielles du type $y' = ay$.

Compétences Techniques Requises

Pour réussir cette épreuve, plusieurs compétences clés sont évaluées :

• Résolution d'équations différentielles : Il faut savoir que l'équation $y' = ay$ admet pour solutions les fonctions définies par $f(x) = Ce^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.
• Détermination de la constante : L'utilisation des conditions initiales (à $t=0$) est cruciale pour identifier l'unique solution correspondant au problème physique.
• Analyse de limites : La maîtrise de la limite de la fonction exponentielle décroissante ($\lim_{x o +\infty} e^{-x} = 0$) est indispensable pour interpréter l'état final du système.
• Interprétation contextuelle : Faire le lien entre un résultat mathématique nul et la disparition totale d'un réactif chimique.

Décryptage de l'Exercice

La première étape consiste à transformer l'expression de la vitesse de réaction en une forme mathématique standard. L'énoncé donne $y' = -k imes y$ avec $k = 7 imes 10^{-4}$. La solution générale est donc de la forme $c(t) = C imes e^{-0,0007t}$. L'application de la concentration initiale $c(0) = 0,4$ permet de fixer $C = 0,4$, aboutissant à la fonction exponentielle décroissante proposée. Enfin, l'étude de la limite à l'infini montre que la concentration tend vers 0, ce qui signifie qu'à long terme, la réaction est totale : tout le saccharose est transformé en sucre inverti. Ce type de modélisation est fondamental dans l'industrie agroalimentaire pour optimiser les temps de chauffe et les rendements de production.