Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice du Bac STL 2023 (session de septembre) se présente sous la forme de questions indépendantes, une structure classique qui permet d'évaluer une large palette de compétences mathématiques en un temps réduit. Il mobilise des concepts fondamentaux du programme de spécialité mathématiques des séries technologiques (STL et STI2D).

Maîtrise de la Fonction Exponentielle

La première question évalue la capacité de l'élève à manipuler la fonction exponentielle, pierre angulaire de l'analyse en STL. Le calcul de l'image de 0 par la fonction f requiert simplement de connaître la valeur de $e^0 = 1$. L'expression $f(0) = (4(0) + 8) \times 1 = 8$ permet de vérifier la rigueur de substitution.

Analyse Graphique et Nombre Dérivé

La question 2 demande une lecture graphique précise. L'élève doit distinguer l'image d'un point $f(2)$ et la pente de la tangente en ce point $f'(2)$. C'est une compétence transversale essentielle pour la physique-chimie de laboratoire, notamment pour l'étude des cinétiques ou des phénomènes de transfert. La pente se calcule par le ratio de la variation verticale sur la variation horizontale (déplacement de la tangente).

Géométrie et Théorème d'Al-Kashi

L'utilisation de la formule d'Al-Kashi (ou théorème d'Al-Kashi) dans un triangle quelconque est une compétence géométrique clé. Ici, pour trouver le cosinus de l'angle BAC, on utilise la relation : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$. L'isolement du cosinus demande une manipulation algébrique sans erreur de signe, souvent source de fautes chez les candidats.

Calcul Intégral : La Primitive

La dernière partie traite de la notion de primitive. Pour démontrer que F est une primitive de f, la méthode la plus efficace est de dériver F et de vérifier que l'on retrouve l'expression de f. Le calcul de la dérivée d'un polynôme de degré 3 est ici trivial, mais il rappelle l'importance de la constante d'intégration (représentée ici par l'année 1789, clin d'œil historique), qui disparaît lors de la dérivation.

Compétences Techniques Requises

• Calcul algébrique et priorité des opérations.
• Propriétés fondamentales de la fonction exponentielle.
• Interprétation géométrique du nombre dérivé (coefficient directeur).
• Application des formules de trigonométrie dans le triangle quelconque.
• Calcul de dérivées de fonctions polynomiales.