Analyse Pédagogique du Sujet Bac STL 2023

Cet exercice issu de la session de mars 2023 à la Réunion constitue un excellent test de synthèse sur les fonctions exponentielles, un pilier du programme de Terminale STL. Divisé en quatre questions indépendantes, il balaye des compétences fondamentales allant de la résolution d'inéquations au calcul de limites complexes.

Maîtrise de l'Inéquation Exponentielle

La première question demande de résoudre \(\e^{2t} > 0,12\). Pour réussir, l'élève doit maîtriser l'application de la fonction logarithme népérien (\(\ln\)), qui est la fonction réciproque de l'exponentielle. La rigueur est attendue dans la manipulation des inégalités : puisque la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ; +\infty[\), le sens de l'inégalité est conservé. Le résultat final, \(t > \frac{\ln(0,12)}{2}\), nécessite souvent une approximation décimale pour vérifier la cohérence du résultat.

Calcul de Primitives et Fonctions Composées

La question 2 porte sur la détermination d'un coefficient \(a\) pour qu'une fonction \(F\) soit une primitive de \(f\). C'est un exercice de dérivation inversée. En dérivant \(F(t) = a\e^{2t+6}\), on obtient \(F'(t) = 2a\e^{2t+6}\). Par identification avec \(f(t) = 6\e^{2t+6}\), l'élève doit résoudre l'équation simple \(2a = 6\). Cette question évalue la connaissance de la règle de dérivation \((e^u)' = u'e^u\). La deuxième partie rappelle qu'une primitive est définie à une constante près (\(F(t) + C\)).

Modélisation et Analyse de Bornes

La question 3 utilise une fonction logistique pour modéliser le taux d'équipement en ordinateurs. L'enjeu ici est l'analyse de la structure de la fonction. Pour montrer que \(f(t)\) ne dépasse jamais 94,6, il faut observer le dénominateur \(1 + \e^{0,6 - 0,2t}\). Comme une exponentielle est toujours strictement positive, le dénominateur est toujours strictement supérieur à 1, ce qui implique que la fraction est toujours inférieure au numérateur. C'est une compétence clé en STL : interpréter un modèle mathématique dans un contexte concret.

Limites et Croissances Comparées

Enfin, la question 4 traite d'une limite en \(+\infty\) présentant une forme indéterminée de type \(\frac{\infty}{\infty}\). L'élève doit invoquer le théorème des croissances comparées. En \(+\infty\), la fonction exponentielle l'emporte sur n'importe quelle puissance de \(x\). On peut factoriser par le terme de plus haut degré au dénominateur pour mettre en évidence que la limite est \(+\infty\). Cette maîtrise technique est indispensable pour l'étude de comportement asymptotique des systèmes physiques ou chimiques souvent rencontrés en STL.