Introduction : Un sujet équilibré et ancré dans le réel

Le sujet de Bac Spécialité Maths Métropole du 12 mai 2022 (Sujet 2) est un excellent entraînement pour tout élève de Terminale. Il couvre les quatre piliers majeurs du programme : les Probabilités, l'Analyse de fonctions (avec et sans graphique), les Suites et la Géométrie dans l'espace. La particularité de ce sujet réside dans son ancrage concret (maladies animales, trajectoire de golf), demandant aux candidats non seulement de calculer, mais d'interpréter leurs résultats.

Exercice 1 : Probabilités et Loi Binomiale (Les Coyotes de l'Oklahoma)

Cet exercice est un classique absolu. Il commence par des probabilités conditionnelles modélisées par un arbre pondéré. Le contexte médical (test positif/négatif) est standard, mais attention au vocabulaire utilisé : "valeur prédictive positive". Ne vous laissez pas intimider, il s'agit simplement d'une probabilité conditionnelle inverse $P_T(M)$ que l'on calcule via la formule de Bayes (ou plus simplement la définition $P(A \cap B) / P(B)$).

Les points de vigilance :

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours valoir 1. C'est le premier point de contrôle.
• Loi Binomiale : Dans la partie B, on répète l'expérience de manière indépendante. Il faut impérativement justifier les paramètres $n$ et $p$ pour obtenir tous les points.
• Le calcul du "au moins un" : Pour calculer la probabilité d'avoir au moins un test positif, ne calculez pas $P(X=1) + ... + P(X=n)$. Passez par l'événement contraire : $1 - P(X=0)$. C'est beaucoup plus rapide et moins source d'erreurs.

Exercice 2 : QCM (Analyse graphique et Suites)

Ce Questionnaire à Choix Multiples est redoutable car il demande une lecture graphique fine et une bonne connaissance des théorèmes sur les suites.

Analyse de fonctions (Questions 1-3) :

On vous donne la courbe de la dérivée $f'$, et on vous pose des questions sur $f$. C'est le piège classique.
Rappel méthodologique :

• Signe de $f'(x)$ $\Rightarrow$ Variations de $f$.
• Variations de $f'(x)$ $\Rightarrow$ Convexité de $f$.

Suites (Questions 4-6) :

Les questions testent votre compréhension des théorèmes de comparaison et d'encadrement (théorème des gendarmes). La question 6 sur l'encadrement $n < u_n < n+1$ demande de visualiser que si $u_n$ est coincée entre deux entiers consécutifs qui tendent vers l'infini, la suite diverge nécessairement vers $+\infty$, tout en étant strictement croissante.

Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (Le Cube)

Un exercice très structuré qui ravira les élèves méthodiques. On travaille dans un repère orthonormé lié au cube.

Compétences clés :

• Coordonnées : Ne vous trompez pas en lisant les coordonnées des points K (milieu) ou G. Une erreur ici se répercute sur tout l'exercice.
• Équation de plan : La méthode est standard. Vérifiez que le vecteur normal fourni est bien orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK).
• Volume du tétraèdre : L'exercice guide vers la méthode "Base $\times$ Hauteur / 3". La difficulté réside souvent dans le calcul de la hauteur, qui est ici la distance d'un point à un plan (ou la longueur du projeté orthogonal).

Exercice 4 : Fonctions et Modélisation (Le Golf)

C'est le "gros morceau" du sujet. Il met en compétition deux modèles (une fonction polynomiale et une fonction avec exponentielle) pour décrire la trajectoire d'une balle.

Analyse détaillée :

• Étude de fonctions : Calcul de dérivées (attention à la dérivée du produit $(uv)'$ pour la fonction $g$), tableaux de variations et Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) pour trouver les racines.
• Lien Maths/Physique : L'originalité est l'interprétation du nombre dérivé $f'(0)$ comme la tangente de l'angle de décollage. Il faut savoir passer de la pente à l'angle (via $\tan^{-1}$ ou lecture de tableau).
• Esprit critique (Partie C) : On vous demande de choisir le meilleur modèle. Ne répondez pas au hasard ! Comparez les données réelles (angle, hauteur, distance) avec les résultats théoriques des deux parties précédentes. C'est une excellente préparation à l'esprit du Grand Oral.

Verdict

Ce sujet est complet. Pour réussir, il faut maîtriser la technique de dérivation (surtout avec l'exponentielle) et ne pas faire de confusions dans les lectures graphiques de convexité. La partie probabilité est un bon moyen de sécuriser des points rapidement si la rédaction est rigoureuse.