Analyse du Sujet Bac Spécialité Maths - Centres Étrangers (Sujet 1) - 11 Mai 2022

Ce sujet de Spécialité Mathématiques, tombé le 11 mai 2022 dans les centres étrangers (Groupe 1), est un excellent entraînement pour le baccalauréat. Il couvre de manière équilibrée les quatre thèmes majeurs du programme de Terminale : l'analyse (logarithmes et exponentielles), les suites, la géométrie dans l'espace et les probabilités.

Le format est classique : 4 exercices proposés, le candidat doit en choisir 3. Voici une analyse détaillée pour vous aider à comprendre les enjeux et les pièges de chaque partie.

Exercice 1 : QCM sur la Fonction Logarithme (7 points)

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples couvrant diverses propriétés de la fonction logarithme népérien ($\ln$). Aucune justification n'est demandée, mais le brouillon est indispensable.

• Notions abordées : Résolution d'équations avec $\ln$, convexité (dérivée seconde), calcul de primitives, domaines de définition, équation de tangente.
• Les pièges :
  • Pour la convexité de $g(x) = x \ln(x) - x^2$, il faut dériver deux fois rigoureusement sans se tromper de signe.
  • Sur la primitive de $f(x) = \frac{x}{1-x^2}$, l'élève doit reconnaître la forme $\frac{u'}{u}$ (ou presque, à un facteur près).
  • Le domaine de définition de $\ln(-x^2-x+6)$ nécessite l'étude du signe du trinôme : la fonction n'existe que si l'intérieur du log est strictement positif.
• Conseil : Ne vous précipitez pas. Testez parfois les valeurs proposées si la résolution directe semble longue, mais privilégiez toujours le raisonnement mathématique pour être sûr.

Exercice 2 : Géométrie dans l'Espace (7 points)

Un exercice très complet et structuré qui mobilise l'ensemble des outils de géométrie analytique.

• Notions abordées : Coordonnées de vecteurs, colinéarité, produit scalaire pour trouver un angle, équation cartésienne de plan, représentation paramétrique de droite, projection orthogonale et calcul de volume.
• Difficultés :
  • La question 2.c demande de trouver le projeté orthogonal d'un point sur une droite. C'est une méthode classique (intersection droite/plan perpendiculaire) qu'il faut maîtriser parfaitement.
  • Le calcul de volume final (tétraèdre) demande de la rigueur : il faut bien identifier la base et la hauteur correspondante.
• Compétence clé : Savoir passer d'une vision géométrique (perpendicularité) à une vision algébrique (produit scalaire nul, vecteurs normaux).

Exercice 3 : Fonctions Exponentielles et Suites (7 points)

C'est probablement l'exercice le plus discriminant du sujet. Il mélange analyse fonctionnelle et étude de suite, avec une approche fine de l'approximation.

• Partie A (Fonction) : Étude classique de $h(x) = \text{e}^x - x$. L'élève doit montrer que la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ pour justifier une inégalité.
• Partie B (Lien Suite-Fonction) : C'est le cœur du problème. On étudie l'écart entre la courbe de l'exponentielle et sa tangente.
• Points délicats :
  • La suite $(u_n)$ est définie par $u_n = \exp(1/n) - 1/n - 1$. L'élève doit faire le lien subtil avec la fonction $h$ étudiée précédemment pour déterminer la monotonie de la suite (question 3a et 3b).
  • C'est un exercice de "synthèse" : il ne suffit pas d'appliquer des formules, il faut comprendre comment la fonction auxiliaire $h$ pilote le comportement de la suite $u_n$.

Exercice 4 : Probabilités (7 points)

L'exercice est divisé en deux parties indépendantes : les probabilités conditionnelles (avec un tableau à double entrée) et la loi binomiale.

• Partie A : Contrairement aux arbres pondérés classiques, on demande ici de remplir un tableau à double entrée.
  • Le piège : Attention à l'indépendance ! La question 2c demande de vérifier si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Il ne faut pas supposer l'indépendance, il faut la tester.
  • Il faut bien jongler entre l'union, l'intersection et les probabilités totales.
• Partie B : Application directe de la loi binomiale (tirage avec remise). Le calcul de $P(X=10)$ et de l'espérance est standard. C'est la partie "points garantis" du sujet si le cours est su.