Introduction : L'importance des Mathématiques en Bac STL

Le baccalauréat STL (Sciences et Technologies de Laboratoire) se distingue par sa forte synergie entre les concepts mathématiques et les applications concrètes en laboratoire. Le sujet de la session 2021 pour la Métropole reflète parfaitement cette exigence, en proposant des exercices centrés sur l'analyse de fonctions, les outils de calcul fondamentaux (intégrales, logarithmes) et la géométrie appliquée. En tant qu'expert de cette filière, nous analysons ici les ressorts de ce sujet pour aider les élèves à performer le jour de l'examen.

Analyse des Questions 1 à 3 : L'étude de la fonction exponentielle

L'étude de la fonction $f(x) = (4x - 1)e^x$ constitue le cœur de ce sujet. En STL, la fonction exponentielle est omniprésente : elle modélise aussi bien la croissance bactérienne dans une boîte de Pétri que la décroissance radioactive ou encore les cinétiques chimiques du premier ordre.

• Question 1 : Calcul d'image. Le calcul de $f(-1)$ est une application directe pour vérifier la maîtrise des signes et de la notation exponentielle.
• Question 2 : Limites. La limite en $+\infty$ fait intervenir les croissances comparées. En laboratoire, comprendre le comportement asymptotique d'une fonction permet de prévoir la saturation d'une réaction ou l'épuisement d'un milieu de culture.
• Question 3 : Dérivation et variations. L'élève doit démontrer que $f'(x) = e^x(4x + 3)$. L'étude du signe de $f'(x)$ (qui dépend uniquement du facteur affine $4x+3$ puisque $e^x > 0$) est cruciale pour dresser le tableau de variations. Ce type d'analyse permet d'identifier un extremum, souvent interprété en physique comme une vitesse maximale ou une concentration critique.

Question 4 : Le calcul intégral et l'aire sous la courbe

L'intégrale $I = \int_{-1}^2 (4x - 1)dx$ est un exercice de calcul de primitive simple. Pour un élève de STL, l'intégration n'est pas qu'un simple exercice algébrique : c'est l'outil qui permet de calculer une quantité totale (masse, volume, charge électrique) à partir d'un flux ou d'un débit. Ici, la primitive $F(x) = 2x^2 - x$ permet d'aboutir rapidement au résultat $I = 3$, validant ainsi la compréhension de la zone d'aire située entre la droite et l'axe des abscisses.

Question 5 : Les propriétés algébriques des logarithmes

Le logarithme est l'outil de conversion par excellence en laboratoire, utilisé pour définir le pH, le pKa ou encore les niveaux sonores en décibels. L'exercice demande de décomposer $\ln(576)$. En utilisant les propriétés $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(a^n) = n\ln(a)$, l'élève montre sa capacité à simplifier des expressions complexes. Sachant que $576 = 2^6 \times 3^2$ (ou $24^2$), la démonstration devient fluide. Cette compétence est indispensable pour manipuler des échelles semi-logarithmiques couramment utilisées en biochimie.

Question 6 : Géométrie et Théorème d'Al-Kashi

La question de géométrie propose un triangle ABC avec un angle de $60^\circ$. L'utilisation du théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) est ici requise pour trouver la longueur AC : $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(60^\circ)$. Cette application est directe mais essentielle pour les mesures de distances indirectes ou en optique géométrique.

Conclusion

Ce sujet de 2021 balaye les fondamentaux du programme de spécialité mathématiques pour les STL. Il demande à la fois une rigueur de calcul (notamment sur les dérivées et intégrales) et une aisance avec les fonctions transcendantes (exp et ln). Pour réussir, les candidats doivent non seulement maîtriser les formules, mais aussi comprendre le sens physique de chaque opération mathématique.