Analyse du Sujet de Mathématiques - Bac STL 2021 (Métropole)

Le sujet de la session 2021 pour la série Sciences et Technologies de Laboratoire (STL) est un modèle d'équilibre entre l'abstraction mathématique et les outils nécessaires aux sciences appliquées. En tant qu'expert en pédagogie STL, cette analyse décortique les points clés de l'épreuve pour aider les élèves à comprendre les attentes des correcteurs.

L'esprit de l'épreuve de spécialité STL

Le baccalauréat STL demande une maîtrise rigoureuse des fonctions de base (exponentielle, logarithme) et des outils de calcul (intégrales, dérivées). Contrairement à la filière générale, l'accent est mis sur la capacité à manipuler des modèles qui se retrouvent en Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) ou en Biochimie-Biologie-Biotechnologies (BGB).

Exercice 1 & 2 : L'étude de la fonction exponentielle

Le premier bloc porte sur une fonction de type produit : g(x) = (2x - 1)e^-x.
Ce type de fonction est omniprésent dans les sciences de laboratoire. En cinétique chimique ou en croissance bactérienne, le facteur e^-x représente souvent une décroissance, un amortissement ou la disparition d'un réactif au cours du temps.

La Question 1 est une simple évaluation de l'image de 0, permettant de vérifier la manipulation de l'exponentielle (e⁰ = 1).
La Question 2 demande d'utiliser la règle de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv'. Le résultat fourni, g'(x) = (-2x + 3)e^-x, montre que la pente de la courbe change de signe en x = 1.5, indiquant un maximum local. Ce maximum peut correspondre, dans un contexte de laboratoire, au pic de concentration d'un produit intermédiaire lors d'une réaction successive.

Question 3 : La Trigonométrie et la périodicité

La trigonométrie en STL est essentielle pour l'étude des signaux périodiques (oscilloscopes, ondes lumineuses). Ici, l'élève doit utiliser les propriétés du cercle trigonométrique. Sachant que 9π/5 est équivalent à -π/5 (car 10π/5 = 2π), on utilise la propriété cos(-x) = cos(x). C'est un exercice de pure logique géométrique qui teste la compréhension de la symétrie des fonctions circulaires.

Question 4 : Calcul intégral et surfaces

L'intégrale I = ∫ (2x - 1)dx entre 0 et 2 est un classique. En STL, l'intégrale sert à calculer une aire sous la courbe, mais surtout une valeur moyenne ou une quantité totale (par exemple, la quantité totale de matière ayant traversé une membrane si f(x) représente un flux). La primitive de 2x - 1 est x² - x. Le calcul direct donne (2² - 2) - (0² - 0) = 2. C'est une application directe sans difficulté majeure mais qui demande une grande précision dans l'évaluation des bornes.

Question 5 : Logarithmes et pH-métrie

L'expression A = 5 ln(e³) - 4 ln(1/e²) mobilise les propriétés fondamentales du logarithme népérien.
1. ln(e^x) = x, donc ln(e³) = 3.
2. ln(1/x) = -ln(x), donc ln(1/e²) = -ln(e²) = -2.
Le calcul devient : A = 5(3) - 4(-2) = 15 + 8 = 23.
Ces simplifications sont vitales en chimie pour les calculs de pH ou de pKa, où les échelles logarithmiques sont la norme.

Question 6 : Géométrie vectorielle et produit scalaire

Le produit scalaire EB · ED dans un complexe carré/triangle rectangle isocèle fait appel à la projection orthogonale ou à l'utilisation d'un repère. Dans le cadre STL, la compréhension des vecteurs est utile en optique (vecteurs de propagation) ou en mécanique des fluides (forces de poussée). Ici, l'utilisation de la relation u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ) est la méthode la plus élégante, sachant que l'angle entre EB et ED peut être déduit de la configuration géométrique (somme d'angles de 45°).

Conclusion : Conseils pour réussir

Ce sujet de 2021 montre que pour réussir le bac STL, il ne suffit pas de connaître ses formules, il faut savoir les appliquer rapidement et sans erreur de signe. La rigueur dans l'écriture des étapes de calcul est particulièrement valorisée par les correcteurs, notamment pour les questions de type "montrer que". N'oubliez pas que les mathématiques sont vos meilleurs outils pour briller ensuite lors de vos épreuves pratiques de laboratoire !