Analyse pédagogique de l'exercice : Modélisation et Équations Différentielles

Cet exercice, issu du sujet de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du bac STI2D 2022 en Nouvelle-Calédonie, est une application directe du programme de mathématiques sur les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants. La thématique de la chute d'un corps avec frottements fluides est un grand classique qui permet de lier l'analyse mathématique à la réalité physique du parachutisme.

Les compétences techniques requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser trois piliers fondamentaux :

• La résolution d'équations différentielles : Il faut reconnaître la forme $y' = ay + b$. Ici, $a = -0,16$ et $b = 9,81$. La solution générale est de la forme $v(t) = C e^{at} - \frac{b}{a}$. La condition initiale $v(0) = 0$ permet de déterminer la constante unique $C$.
• L'étude des fonctions exponentielles : Savoir manipuler l'expression $1 - e^{-kt}$ est crucial. Il faut comprendre que lorsque $t$ augmente, $e^{-0,16t}$ tend vers 0, ce qui signifie que la vitesse tend vers une vitesse limite (asymptote horizontale).
• La conversion d'unités : Passer des $km\cdot h^{-1}$ aux $m\cdot s^{-1}$ est une compétence de base en STI2D. Le facteur de conversion est $3,6$ (puisque $1 km = 1000m$ et $1h = 3600s$).

Interprétation des résultats

La question 5 demande de valider une information commerciale. C'est une démarche d'esprit critique. L'élève doit soit résoudre l'inéquation $v(t) \geq 55,56$ (la valeur de $200 km\cdot h^{-1}$ convertie), soit calculer $v(40)$ et vérifier si le résultat dépasse ce seuil. Avec $v(40) \approx 61,2 m\cdot s^{-1}$, on constate que la vitesse de $200 km\cdot h^{-1}$ est effectivement atteinte bien avant les 40 secondes, validant ainsi la brochure publicitaire.