Analyse de l'Exercice : Un Classique du Bac STI2D

Cet exercice du Bac STI2D Nouvelle-Calédonie 2023 (session de septembre) est un modèle du genre, articulant deux piliers du programme : les nombres complexes et l'analyse de fonctions exponentielles. Cette polyvalence est caractéristique des épreuves de mathématiques pour les filières technologiques, où l'on teste la capacité de l'élève à passer d'un domaine algébrique à un domaine graphique.

Maîtrise des Nombres Complexes

La première partie se concentre sur les formes algébriques et exponentielles. Le passage de $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ à sa forme exponentielle nécessite le calcul du module $|z_1| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$. L'argument se déduit par l'identification de $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, menant à $\theta = \frac{\pi}{4}$. La seconde sous-question mobilise les propriétés des puissances dans les complexes : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$. C'est une compétence clé pour manipuler les signaux sinusoïdaux en enseignement transversal STI2D.

Analyse de Fonction et Interprétation Graphique

La seconde partie porte sur une fonction de type produit $(ax+b)e^{-x}$. L'élève doit savoir interpréter la dérivée non seulement comme un outil de calcul, but surtout comme un coefficient directeur de tangente.

• Calcul de l'ordonnée : Simple substitution de $x$ par 1 dans $f(x)$.
• Pente de la tangente : Le calcul de $f'(1)$ permet de vérifier la cohérence avec la droite $T_1$ tracée sur le repère.
• Recherche d'extremum : Pour trouver le maximum, l'élève doit résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Ici, $-10x + 14 = 0$ donne $x = 1,4$, ce qui confirme l'observation graphique sur l'intervalle $[1; 2]$.

Compétences Techniques Requises

Pour réussir cet exercice, les candidats doivent maîtriser les règles de dérivation du produit $(uv)' = u'v + uv'$, la connaissance des valeurs remarquables du cercle trigonométrique et la lecture graphique. La rigueur dans la rédaction des calculs de complexes est primordiale pour obtenir l'intégralité des points.