Analyse Pédagogique du Sujet

Cet exercice du Bac STI2D 2023 (session Polynésie) est un excellent condensé du programme de mathématiques de Terminale. Il se divise en deux parties distinctes : l'analyse de fonctions et les nombres complexes, deux piliers fondamentaux pour la réussite des élèves en sciences et technologies de l'industrie et du développement durable.

Partie 1 : Maîtrise de la fonction exponentielle

La première question porte sur l'étude de la fonction $f(x) = x e^{-x}$. C'est un grand classique qui sollicite plusieurs compétences clés :

• Les limites et croissances comparées : Pour calculer la limite en $+\infty$, l'élève doit mobiliser la règle des croissances comparées. En effet, bien que ce soit une forme indéterminée de type $\infty \times 0$, la propriété $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ permet de conclure que l'exponentielle l'emporte, menant la limite vers 0.
• La dérivation : L'utilisation de la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable ici. Avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x}$, l'élève doit être vigilant avec la dérivée de $e^{-x}$ qui est $-e^{-x}$.
• Tableau de variations : L'étude du signe de $f'(x) = e^{-x}(1-x)$ est simplifiée par le fait que l'exponentielle est toujours positive. Le signe ne dépend donc que de $(1-x)$.

Partie 2 : Algèbre des Nombres Complexes

La seconde partie évalue l'aisance de l'élève avec les différentes écritures des nombres complexes. La transition de la forme algébrique vers la forme exponentielle est une compétence de base indispensable en STI2D, notamment pour les calculs en électricité ou en automatique.

• Module et Argument : Pour $z_2 = -\sqrt{3} + i$, le calcul du module $|z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$ est la première étape. L'identification de l'argument passe par la résolution de $\cos(\theta) = -\sqrt{3}/2$ et $\sin(\theta) = 1/2$.
• Propriétés des puissances et quotients : Le calcul de $Z = z_1 / z_2^3$ demande d'appliquer les règles de Moivre ou les propriétés de l'exponentielle : $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ et le quotient des arguments (soustraction).

Compétences Techniques Requises

Pour briller sur cet exercice, l'élève doit parfaitement maîtriser les identités remarquables, les valeurs remarquables du cercle trigonométrique, et les formules de dérivation usuelles. La rigueur dans la rédaction des calculs de complexes est primordiale pour éviter les erreurs de signe.