Analyse de l'épreuve de Mathématiques STI2D - Session Mars 2023 Réunion
Cet exercice, issu du sujet de Bac STI2D 2023 à La Réunion, se décompose en deux parties indépendantes mais essentielles pour tout candidat visant une mention : la manipulation des fonctions logarithmes et la maîtrise géométrique des nombres complexes. Ces deux thématiques représentent souvent des points 'gratuits' pour l'élève qui possède une bonne rigueur algébrique.
Focus sur les propriétés du Logarithme Népérien
La première question demande de simplifier l'expression A(x) = -ln(9) + 2ln(3x). Pour réussir cette tâche, le candidat doit mobiliser les propriétés fondamentales du logarithme népérien :
- La propriété de puissance : n ln(a) = ln(aⁿ), ce qui transforme 2 ln(3x) en ln((3x)²), soit ln(9x²).
- La propriété de quotient : ln(a) - ln(b) = ln(a/b), permettant de simplifier ln(9x²) - ln(9) en ln(x²).
Cette agilité de calcul est cruciale pour aborder sereinement les chapitres sur les équations différentielles ou l'étude de fonctions complexes en STI2D.
Les Nombres Complexes : De la Géométrie à l'Exponentielle
La seconde question aborde les complexes sous un angle géométrique. L'énoncé fournit trois contraintes : l'appartenance à un cercle de centre O et de rayon 6 (définissant le module |z| = 6), une partie réelle négative, et une partie imaginaire fixée à 3.
Compétences techniques sollicitées
- Calcul du Sinus : En utilisant la relation y = r * sin(θ), on trouve immédiatement sin(θ) = 3/6 = 1/2.
- Lecture du cercle trigonométrique : Avec un sinus de 1/2 et une partie réelle négative (cosinus négatif), le candidat doit identifier l'angle remarquable du deuxième quadrant. Le demi-cercle fourni dans le sujet aide à valider visuellement que θ = 5π/6.
- Forme Exponentielle : L'écriture finale z = 6e^{i 5π/6} synthétise toutes les informations collectées.
Cette approche liant géométrie plane et algèbre est la marque de fabrique du programme STI2D, où les complexes modélisent souvent des phénomènes physiques (courant alternatif, impédances).