Contexte de l'Épreuve : Baccalauréat Spécialité Mathématiques 2026 - Amérique du Nord

Le sujet du Bac Spécialité Maths 2026 d'Amérique du Nord (Sujet 2) est une épreuve extrêmement riche, balayant avec équilibre les principaux chapitres du programme de Terminale. Composé de quatre exercices indépendants, il exige non seulement une parfaite maîtrise technique, mais aussi une grande capacité d'analyse et de modélisation. On y retrouve l'incontournable triptyque : Probabilités, Analyse (Suites et Fonctions) et Géométrie dans l'espace, avec un accent particulier sur la rigueur calculatoire (notamment avec la double intégration par parties) et la logique algorithmique via le langage Python.

Ce sujet est idéal pour s'entraîner car il ne se contente pas d'appliquer bêtement des formules : il demande de comprendre le cheminement mathématique. Qu'il s'agisse de déduire des limites géométriques ou de jongler avec des inégalités probabilistes, la philosophie de cette épreuve repose sur l'autonomie du candidat face à des tâches complexes.

Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles et Loi Binomiale (4 points)

Notions abordées

• Arbres pondérés et probabilités conditionnelles.
• Formule des probabilités totales.
• Loi binomiale : paramètres, espérance, variance.
• Échantillonnage et inégalité de concentration.

Analyse détaillée et pièges classiques

La première partie de cet exercice plonge le candidat dans une situation classique de contrôle qualité avec des tomates provenant de deux fournisseurs. La modélisation par un arbre pondéré (à compléter) est le point d'entrée traditionnel. Le piège ici réside dans la lecture de l'énoncé : il faut identifier correctement les probabilités conditionnelles données et savoir inverser le conditionnement à la question 2.b pour trouver $P_B(C)$. L'utilisation de la formule des probabilités totales est indispensable pour tisser le lien entre les différentes branches.

La seconde partie élève le niveau avec l'introduction de la loi binomiale. Si les calculs de probabilités ponctuelles $P(X=2)$ ou cumulées $P(X \leqslant 2)$ se font généralement bien à la calculatrice, l'exercice prend une tournure beaucoup plus théorique avec le passage à une taille d'échantillon $n$ variable. L'expression de la variance de la fréquence $F_n$ et l'inégalité demandée s'appuient sur des concepts de fluctuation et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (bien que son nom ne soit pas toujours exigé explicitement). Il s'agit de démontrer qu'une fréquence empirique se rapproche de la probabilité théorique lorsque la taille de l'échantillon augmente.

Compétences évaluées

Cet exercice évalue la capacité à traduire une situation réelle en langage probabiliste, à manipuler des variables aléatoires discrètes et à interpréter des résultats dans un contexte de prise de décision (le responsable des achats doit-il s'inquiéter ?).

Exercice 2 : Fonctions, Suites Récurrentes et Python (6 points)

Notions abordées

• Dérivation et étude des variations d'une fonction irrationnelle.
• Raisonnement par récurrence.
• Suites récurrentes du type $u_{n+1} = f(u_n)$ et convergence.
• Suites auxiliaires pour déterminer une forme explicite.
• Algorithmique (boucle for en Python) et somme de termes.
• Théorème des gendarmes.

Analyse détaillée et pièges classiques

Cet exercice est le gros morceau du sujet, noté sur 6 points, et se divise en trois parties intimement liées. La Partie A propose l'étude d'une fonction $f(x)$ contenant une racine carrée au dénominateur. Le calcul de la dérivée est un excellent test de technicité : il faut maîtriser la dérivation des quotients et des fonctions composées (la forme $\sqrt{u}$). Une erreur de signe ici pénalise l'ensemble de la suite.

Dans la Partie B, on utilise cette fonction pour générer une suite. Le raisonnement par récurrence pour démontrer l'encadrement de la suite est un grand classique, utilisant la stricte croissance de $f$ (démontrée juste avant). La convergence découle directement du théorème de la limite monotone. Mais l'exercice ne s'arrête pas là : il introduit une suite auxiliaire $v_n$ astucieuse. Le candidat doit prouver qu'elle est géométrique. L'algèbre requise pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$ à partir de $v_n$ est souvent le cimetière des points perdus, demandant de la dextérité dans la manipulation des quotients.

La Partie C mêle algorithmique et analyse asymptotique. Le script Python à compléter met en évidence la notion d'accumulateur pour calculer une somme $S_n$. Enfin, l'utilisation d'encadrements sur les termes individuels $u_k$ permet de borner la somme $S_n$ pour en déduire sa limite et celle d'un ratio, mobilisant brillamment le théorème de comparaison (ou des gendarmes).

Exercice 3 : Géométrie dans l'Espace (5 points)

Notions abordées

• Représentation paramétrique d'une droite.
• Équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal.
• Projeté orthogonal d'un point sur un plan ou sur une droite.
• Produit scalaire dans l'espace.
• Calculs de volumes (tétraèdre) et d'aires de triangles.

Analyse détaillée et pièges classiques

La géométrie dans l'espace est souvent redoutée pour son exigence en visualisation, mais cet exercice est remarquablement bien guidé. L'approche est résolument analytique (calculs de coordonnées). Dès le début, le lien entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$ (qui lui est perpendiculaire) doit faire tilt chez le candidat : le vecteur directeur de la droite est un vecteur normal au plan ! Cela permet de trouver immédiatement l'équation cartésienne du plan.

Le point d'orgue de l'exercice est la détermination du projeté orthogonal $D$. Il faut montrer à la fois que $D$ appartient au plan et que le vecteur $\overrightarrow{CD}$ est colinéaire au vecteur normal. La suite s'enchaîne avec des calculs de produit scalaire pour prouver des orthogonalités, menant au calcul du volume du tétraèdre $ABCD$.

La dernière partie introduit une méthode très élégante, fréquente aux concours et au Bac : calculer une distance d'un point à un plan en exprimant le volume du tétraèdre de deux manières différentes. Après avoir calculé l'aire de la base $ABC$ via la hauteur issue d'une projection sur une droite, on en déduit la hauteur du tétraèdre relative à cette base. Le piège est de se perdre dans les nombreuses coordonnées et fractions complexes (comme celles du point $H$). Une extrême rigueur calculatoire est de mise.

Exercice 4 : Fonction Logarithme, TVI et Intégration (5 points)

Notions abordées

• Limites de fonctions logarithmiques (croissances comparées).
• Dérivation d'un produit.
• Théorème des Valeurs Intermédiaires (corollaire).
• Calcul intégral : Double intégration par parties (IPP).
• Calcul de limite d'une intégrale avec borne variable.

Analyse détaillée et pièges classiques

Ce dernier exercice est un joyau d'analyse fonctionnelle sur la fonction $f(x) = x(\ln x)^2$. L'étude des limites aux bornes de l'intervalle de définition $]0 ; +\infty[$ demande de connaître ses croissances comparées. La limite en $0$ est d'ailleurs subtile : l'énoncé fournit astucieusement une fonction intermédiaire $g(x) = x \ln x$ évaluée en $\sqrt{x}$ pour lever l'indétermination, évitant ainsi aux candidats de rester bloqués.

L'étude des variations via le calcul de la dérivée $f'(x)$ requiert l'application soignée de la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$, couplée à la règle de la chaîne pour $(\ln x)^2$. S'ensuit une application textbook du corollaire du Théorème des Valeurs Intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de la solution de l'équation $f(x) = 2$. C'est une question de rédaction stricte (continuité, stricte monotonie, changement de signe).

La pépite de cet exercice réside dans sa question 5 : le calcul intégral. Plutôt que de demander une primitive directe impossible à deviner, le sujet impose une double intégration par parties. C'est l'un des exercices les plus discriminants : il faut poser correctement ses fonctions à deux reprises, gérer les signes moins successifs et ne pas s'emmêler les pinceaux. Le calcul mène à une formule exacte complexe dont on doit finalement évaluer la limite lorsque la borne inférieure $a$ tend vers 0. C'est le summum de l'analyse de Terminale, mesurant la capacité du candidat à mener un long calcul littéral jusqu'à son terme de manière autonome.

Conclusion

En résumé, ce Sujet 2 d'Amérique du Nord de l'année 2026 est un excellent cru. Il ne contient pas de pièges tordus mais exige une régularité et une solidité remarquables sur l'ensemble du programme. La présence d'une double IPP, de suites auxiliaires complexes, et de démonstrations géométriques par changement de point de vue en fait un entraînement de très haut niveau pour quiconque vise la mention Très Bien. Révisez vos bases, soignez votre rédaction, et rappelez-vous que la calculatrice ne remplace pas une bonne compréhension des théorèmes !