Analyse Pédagogique : Le Pont entre Mathématiques et Physique

Cet exercice du Bac STI2D 2023 (Métropole) est une illustration parfaite de l'interdisciplinarité demandée aux élèves. Il s'agit d'étudier la chute d'une bille dans un fluide visqueux pour déterminer les propriétés de ce dernier. L'enjeu est double : modéliser un phénomène physique par une équation différentielle du premier ordre et interpréter les résultats mathématiques dans un contexte industriel.

Compétences Techniques Requises

• Résolution d'équations différentielles : Savoir résoudre $y' = ay + b$. Ici, $a = -6,8$ et $b = 7,5$. La solution générale est de la forme $v(t) = C e^{at} - rac{b}{a}$.
• Condition Initiale : L'utilisation de $v(0) = 0$ permet de fixer la constante $C$, une étape cruciale pour passer de la famille de solutions à la solution unique modélisant l'expérience.
• Calcul de Limites : La compréhension de la croissance comparée et du comportement de la fonction exponentielle négative ($\lim_{x o \infty} e^{-x} = 0$) est indispensable pour identifier la vitesse limite.
• Analyse de Données : L'élève doit jongler avec les unités du système international (SI) : conversion de grammes en kilogrammes, de centimètres en mètres et gestion des puissances de dix pour le calcul de la viscosité $\eta$.

Focus sur la Vitesse Limite et la Viscosité

La question 5 demande de déterminer la limite de $v(t)$ quand $t$ tend vers l'infini. Mathématiquement, le terme exponentiel s'annule, laissant $v_{lim} = rac{75}{68} \approx 1,103$ m/s. En physique, cela correspond à l'équilibre des forces (poids, poussée d'Archimède et force de frottement visqueux de Stokes). La comparaison finale entre la valeur théorique calculée et la valeur constructeur permet de valider le modèle ou d'identifier des incertitudes de mesure, une compétence clé de la démarche scientifique en STI2D.

Conseils de Rédaction pour le Bac

Pour obtenir tous les points, l'élève doit rigoureusement détailler le passage de l'équation différentielle à sa solution. Il est conseillé de simplifier la fraction $7,5 / 6,8$ en $75 / 68$ pour conserver une valeur exacte le plus longtemps possible. Enfin, lors du calcul de $\eta$, une attention particulière doit être portée à la précision des chiffres significatifs, en cohérence avec les données de l'énoncé.