Analyse du Sujet de Mathématiques - Première Technologique (2026)

Le sujet proposé pour la session 2026 des centres étrangers s'inscrit parfaitement dans la continuité du programme de Première Technologique. Il balaye un spectre large de compétences, allant des automatismes de calcul à l'étude fine de fonctions polynomiales du troisième degré. Globalement, ce sujet présente une difficulté équilibrée, favorisant les élèves rigoureux sur la méthodologie et les calculs de base.

Partie 1 : Automatismes (QCM)

Cette première partie, notée sur 6 points, évalue la réactivité de l'élève sur des notions fondamentales. On y retrouve les classiques du tronc commun :

• Calcul numérique : Opérations sur les fractions et propriétés des puissances. Le piège classique sur les puissances ($(a^n)^m = a^{n \times m}$) est ici testé avec des exposants négatifs.
• Gestion des pourcentages : Le passage d'une baisse de 20 % au coefficient multiplicateur 0,8 est un automatisme indispensable pour gagner du temps.
• Probabilités et Statistiques : Le calcul de la médiane sur une série pondérée demande de bien cumuler les effectifs pour identifier la valeur centrale. Pour la probabilité du dé truqué, il suffisait d'additionner $P(5)$ et $P(6)$.
• Lecture graphique : L'inéquation $f(x) \geqslant 0$ nécessite une lecture attentive des points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Exercice 1 : Suites et Probabilités (7 points)

Cet exercice, structuré sous forme d'affirmations à justifier (Vrai/Faux), demande une grande clarté rédactionnelle.

Les Suites : L'affirmation 1 porte sur une suite récurrente. Le danger est de se tromper dans l'itération (calculer $u_1$, puis $u_2$, puis $u_3$). L'affirmation 2 teste la capacité de modélisation : une baisse de 1/10 correspond à un coefficient de 0,9, ce qui rend l'affirmation $V_{n+1}=1,1V_n + 200$ fausse. Enfin, la reconnaissance d'une suite arithmétique via une forme explicite $w_n = \frac{1}{3}n + \frac{4}{3}$ est un classique du programme.

Les Probabilités : L'utilisation d'un tableau à double entrée est la méthode la plus sûre pour répondre aux affirmations 4 et 5. Le point crucial est la probabilité conditionnelle (Affirmation 5) : "Sachant que l'élève a pris le bus". Ici, l'univers de référence n'est plus les 200 élèves, mais les 150 usagers du bus.

Exercice 2 : Dérivation et Étude de Fonction (7 points)

C'est la partie la plus technique du sujet, centrée sur l'analyse d'une fonction polynomiale du troisième degré sur l'intervalle $[0 ; 4]$.

• Lecture graphique et tangente : Il faut se rappeler que $f'(3)$ correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente $T$. En choisissant deux points sur $T$, on détermine facilement la valeur de la dérivée.
• Calcul formel : La dérivation de $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 16$ utilise les formules standard ($nx^{n-1}$). L'étape de vérification de la forme factorisée $f'(x) = -3(x-2)(x-4)$ est un guide précieux pour la suite.
• Tableau de variations : C'est le cœur de l'analyse. L'élève doit étudier le signe du trinôme du second degré. Puisque le coefficient de $x^2$ est négatif (ou ici, le coefficient global de la forme factorisée), la parabole est tournée vers le bas, impliquant un signe négatif à l'extérieur des racines (2 et 4).
• Optimisation : La question finale sur le minimum demande simplement de lire le tableau de variations précédemment construit et de calculer l'image correspondante.

Conseils méthodologiques pour réussir

Pour briller sur ce type de sujet, trois conseils sont essentiels :

1. Vérifiez vos calculs de dérivées : Une erreur de signe au début de l'exercice 2 fausse tout le tableau de variations.
2. Justifiez vos Vrai/Faux : Une réponse correcte sans calcul ou phrase explicative ne rapporte aucun point.
3. Maîtrisez la calculatrice : Elle est un outil puissant pour vérifier vos tableaux de valeurs et vos graphiques, mais ne remplace pas la démonstration.

En conclusion, ce sujet de 2026 pour les centres étrangers est un excellent test de fin d'année qui récompense le travail régulier sur les bases de l'analyse et des suites.