Analyse du sujet de Première Spécialité Mathématiques - Métropole 2026
Le sujet de l'épreuve de spécialité mathématiques de la session 2026 pour la zone Métropole reflète parfaitement les attendus du programme de Première. Équilibré entre les automatismes (QCM) et la réflexion structurée, il balaye les thématiques majeures : suites, probabilités, dérivation et géométrie vectorielle. Cet article propose une analyse détaillée pour chaque section afin d'aider les élèves à mieux appréhender les attendus de l'examen.
Introduction : Structure globale du sujet
L'épreuve est divisée en deux parties distinctes : une première partie d'automatismes notée sur 6 points, exigeant rapidité et précision sans justification, et une seconde partie d'exercices approfondis notée sur 14 points. La difficulté est progressive, commençant par des rappels de collège et de seconde pour finir sur des problèmes de géométrie repérée complexes impliquant le produit scalaire et la trigonométrie.
Analyse de la Première Partie : Automatismes (QCM)
Cette section teste les bases fondamentales. On y retrouve :
- Polynômes : Développement d'une identité remarquable (Question 1). Le piège classique est l'oubli du double produit.
- Géométrie repérée : Lecture d'une équation de droite (Question 2). Il est crucial de repérer l'ordonnée à l'origine (2) et de calculer le coefficient directeur via le déplacement graphique.
- Calcul numérique et puissances : Manipulation des puissances de 10 (Question 8) et ordres de grandeur.
- Fonctions : Appartenance d'un point à une parabole (Question 7). Une simple substitution de $x$ permet de vérifier l'ordonnée $y$.
Analyse de l'Exercice 1 : Probabilités Conditionnelles
L'exercice porte sur la gestion d'une flotte de bicyclettes. C'est un grand classique du programme de Première.
- Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales et conditionnelles.
- Pièges à éviter : Confondre l'énoncé de la probabilité de l'intersection ($P(T \cap A)$) avec la probabilité conditionnelle ($P_T(A)$). Il faut bien lire "parmi ceux qui..." pour identifier la condition.
- Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. Pour la question 5, l'utilisation de la formule $P_B(A) = P(A \cap B) / P(B)$ est indispensable.
Analyse de l'Exercice 2 : Vrai/Faux (Suites, Second Degré, Exponentielle)
Cet exercice demande une grande rigueur car chaque réponse doit être justifiée.
- Second degré : On étudie le discriminant $\Delta$ de l'équation $x^2+x-u^2=0$. Ici, $\Delta = 1 - 4(1)(-u^2) = 1 + 4u^2$. Puisque $u^2$ est toujours positif ou nul, $\Delta$ est strictement positif, confirmant l'existence de deux racines distinctes.
- Suites : La suite $u_n = 2^{-n}$ peut être réécrite $u_n = (1/2)^n$. C'est une suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et de raison $q=1/2$.
- Exponentielle et Dérivation : Pour la tangente au point d'abscisse 0 de $f(x)=e^x-1$, on utilise la formule $y = f'(0)(x-0) + f(0)$. Sachant que $f'(x)=e^x$, on obtient $y = 1x + 0$. Le point A(3;3) appartient bien à la droite $y=x$.
Analyse de l'Exercice 3 : Géométrie et Produit Scalaire
C'est l'exercice le plus technique, mêlant calcul vectoriel et trigonométrie.
- Produit scalaire : La définition analytique $(xx' + yy')$ est utilisée à la question 3.
- Trigonométrie : La question 4 utilise l'autre définition du produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$. Avec $\cos(\pi/3) = 1/2$, l'élève doit établir une égalité entre les deux formes pour aboutir à l'équation $(E)$.
- Conseil : Ne pas paniquer devant les racines carrées. La vérification finale (question 5) consiste simplement à remplacer $x$ par $1+\sqrt{3}$ dans l'équation.
Conclusion
Le sujet 2026 de Métropole est complet et exige une maîtrise fluide des outils de calcul (automatismes) tout en testant la capacité de démonstration (Vrai/Faux). Pour réussir, un élève de Première doit impérativement maîtriser les propriétés des fonctions usuelles (exponentielle), les bases de la géométrie vectorielle et le calcul des probabilités sur arbre.