Analyse de l'énoncé : Les suites au service de l'épargne
Cet exercice de la spécialité mathématiques en classe de Première porte sur l'étude d'une suite arithmético-géométrique dans un contexte financier. L'énoncé modélise l'évolution d'un compte bancaire où les intérêts (5 %) s'ajoutent annuellement tandis que des frais fixes (12 €) sont prélevés. Cette structure de type \(u_{n+1} = au_n + b\) est un classique du programme, nécessitant de savoir manipuler à la fois l'aspect récursif et l'aspect explicite via une suite auxiliaire.
Points de vigilance et notions clés
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient de \(1 + 5/100 = 1,05\).
- Utilisation du tableur : Il est crucial de bien différencier l'indice \(n\) (colonne A) de la valeur du terme \(u_n\) (colonne B).
- Suite auxiliaire : La méthode pour démontrer qu'une suite est géométrique repose toujours sur le calcul de \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) afin de faire apparaître la raison \(q\).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Utilisation du tableur :
a) Dans la cellule B3, on cherche à calculer \(u_1\) à partir de \(u_0\) situé en B2. La formule est : =1,05*B2-12.
b) Noémie souhaite un gain de 20 %. Son capital initial étant de 1000 €, elle doit atteindre \(1000 \times 1,20 = 1200\) €. En observant le tableau, on voit que \(u_4 \approx 1163,78\) et \(u_5 \approx 1209,97\). Elle doit donc attendre 5 ans.
2. Démontrer que \((v_n)\) est géométrique :
On a \(v_{n+1} = u_{n+1} - 240\).
En remplaçant \(u_{n+1}\), on obtient : \(v_{n+1} = 1,05u_n - 12 - 240 = 1,05u_n - 252\).
Factorisons par 1,05 : \(v_{n+1} = 1,05(u_n - 252/1,05) = 1,05(u_n - 240)\).
D'où \(v_{n+1} = 1,05v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(q = 1,05\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 240 = 760\).
3. Expression fonctionnelle :
Pour tout \(n\), \(v_n = v_0 \times q^n = 760 \times 1,05^n\).
Comme \(v_n = u_n - 240\), on en déduit : \(u_n = 760 \times 1,05^n + 240\).
4. Application à 20 ans :
On calcule \(u_{20} = 760 \times 1,05^{20} + 240\).
À la calculatrice : \(u_{20} \approx 760 \times 2,6533 + 240 \approx 2256,51\) €.