Analyse de l'énoncé : Les suites au service de l'épargne
Cet exercice de la spécialité mathématiques en classe de Première porte sur l'étude d'une suite arithmético-géométrique dans un contexte financier. L'énoncé modélise l'évolution d'un compte bancaire où les intérêts (5 %) s'ajoutent annuellement tandis que des frais fixes (12 €) sont prélevés. Cette structure de type $u_{n+1} = au_n + b$ est un classique du programme, nécessitant de savoir manipuler à la fois l'aspect récursif et l'aspect explicite via une suite auxiliaire.
Points de vigilance et notions clés
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de 5 % correspond à un coefficient de $1 + 5/100 = 1,05$.
- Utilisation du tableur : Il est crucial de bien différencier l'indice $n$ (colonne A) de la valeur du terme $u_n$ (colonne B).
- Suite auxiliaire : La méthode pour démontrer qu'une suite est géométrique repose toujours sur le calcul de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ afin de faire apparaître la raison $q$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Utilisation du tableur :
a) Dans la cellule B3, on cherche à calculer $u_1$ à partir de $u_0$ situé en B2. La formule est : =1,05*B2-12.
b) Noémie souhaite un gain de 20 %. Son capital initial étant de 1000 €, elle doit atteindre $1000 \times 1,20 = 1200$ €. En observant le tableau, on voit que $u_4 \approx 1163,78$ et $u_5 \approx 1209,97$. Elle doit donc attendre 5 ans.
2. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique :
On a $v_{n+1} = u_{n+1} - 240$.
En remplaçant $u_{n+1}$, on obtient : $v_{n+1} = 1,05u_n - 12 - 240 = 1,05u_n - 252$.
Factorisons par 1,05 : $v_{n+1} = 1,05(u_n - 252/1,05) = 1,05(u_n - 240)$.
D'où $v_{n+1} = 1,05v_n$. La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 1,05$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 240 = 760$.
3. Expression fonctionnelle :
Pour tout $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 760 \times 1,05^n$.
Comme $v_n = u_n - 240$, on en déduit : $u_n = 760 \times 1,05^n + 240$.
4. Application à 20 ans :
On calcule $u_{20} = 760 \times 1,05^{20} + 240$.
À la calculatrice : $u_{20} \approx 760 \times 2,6533 + 240 \approx 2256,51$ €.