Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de la géométrie repérée en classe de Première Spécialité. Il articule deux notions fondamentales : le produit scalaire utilisé comme outil de calcul de distances (via la projection orthogonale) et l'étude des ensembles de points (droites et cercles) par leurs équations cartésiennes. L'énoncé place l'élève dans un repère orthonormé, ce qui facilite l'usage des coordonnées pour les calculs vectoriels.

Points de vigilance et notions de cours

• Produit scalaire : Rappelez-vous les deux définitions principales. La forme analytique $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ est idéale pour le début de l'exercice, tandis que la forme géométrique avec le projeté orthogonal est indispensable pour déterminer la longueur $OH$.
• Équation de cercle : Un cercle de centre $D(x_D; y_D)$ et de rayon $R$ a pour équation $(x - x_D)^2 + (y - y_D)^2 = R^2$. Il faut savoir développer cette forme pour retrouver l'équation développée demandée.
• Appartenance d'un point : Pour vérifier si un point $M$ appartient à une courbe, on remplace ses coordonnées dans l'équation de ladite courbe et on vérifie si l'égalité est respectée.

Correction détaillée

1. Calculs initiaux :
a) Les coordonnées sont $\vec{OI}(4; 3)$ et $\vec{OC}(0; 4)$.
b) $\vec{OI} \cdot \vec{OC} = 4 \times 0 + 3 \times 4 = 12$.

2. Projection et longueur :
a) Puisque $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(OI)$, on a $\vec{OI} \cdot \vec{OC} = \vec{OI} \cdot \vec{OH}$. Les points $O, H, I$ étant alignés dans cet ordre, $\vec{OI} \cdot \vec{OC} = OI \times OH$.
b) $OI = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$.
c) On a $12 = 5 \times OH$, d'où $OH = \frac{12}{5} = 2,4$.

3. Équations et intersection :
a) La droite $(CH)$ est perpendiculaire à $(OI)$. Le vecteur $\vec{OI}(4; 3)$ est donc un vecteur normal à $(CH)$. L'équation est de la forme $4x + 3y + c = 0$. En passant par $C(0; 4)$, on trouve $3(4) + c = 0 \Rightarrow c = -12$. L'équation est $4x + 3y - 12 = 0$.
b) Pour le cercle : $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 0,5^2$. En développant : $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 0,25$, ce qui donne $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0$.
c) Pour $M(1,5; 2)$ :
- Droite : $4(1,5) + 3(2) - 12 = 6 + 6 - 12 = 0$ (Vrai).
- Cercle : $(1,5-2)^2 + (2-2)^2 = (-0,5)^2 + 0 = 0,25$ (Vrai). $M$ appartient donc bien à l'intersection.