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Probabilités
Probabilités conditionnelles
Exercice Première Spécialité - 2021 - Ex 4 : Probabilités conditionnelles
1 juin 2021
Première Spécialité
Révise les Probabilités avec cet exercice ! 🚀
Tu prépares ton prochain contrôle de maths ? Cet exercice de Première Spécialité est le support idéal pour réviser les fondamentaux des probabilités conditionnelles. À travers un cas concret de production industrielle, tu apprendras à :
- ✅ Construire un arbre pondéré sans erreur.
- ✅ Appliquer la loi des probabilités totales.
- ✅ Maîtriser les probabilités inverses, un classique du Bac !
C'est un incontournable pour gagner en confiance et assurer une excellente note. Alors, prêt à relever le défi ? 🎯
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
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Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de mathématiques de Première Spécialité (Amérique du Nord 2021), porte sur les probabilités conditionnelles dans un contexte industriel de contrôle de qualité. L'enjeu est de modéliser une situation à l'aide d'un arbre pondéré pour répondre à des problématiques de production (probabilités totales) et de diagnostic (probabilités inverses).
Points de vigilance et notions clés
Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts du programme de Première Spécialité doivent être maîtrisés :
- La construction de l'arbre : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
- Intersection (A ∩ D) : Se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin correspondant.
- Loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer P(D) en sommant les probabilités des différents chemins menant à l'événement D.
- Probabilité conditionnelle inverse : Savoir calculer P_D(A) en utilisant la formule P(A ∩ D) / P(D).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Valeur de P(A) :
Le texte indique que le site A produit les trois-quarts des aiguilles. On a donc P(A) = 3/4 = 0,75.
2. Arbre de probabilités :
L'arbre se compose de deux niveaux. Le premier niveau se divise en A (0,75) et B (0,25). Le second niveau indique les défauts :
- Branche A vers D : 0,02 ; vers non D : 0,98.
- Branche B vers D : 0,04 ; vers non D : 0,96.
3. Probabilité que l'aiguille ait un défaut et provienne du site A :
On cherche P(A ∩ D). Selon la formule des probabilités composées : P(A ∩ D) = P(A) × P_A(D) = 0,75 × 0,02 = 0,015.
4. Formule des probabilités totales pour P(D) :
L'événement D est la réunion des événements incompatibles (A ∩ D) et (B ∩ D).
P(D) = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) = 0,015 + (0,25 × 0,04) = 0,015 + 0,01 = 0,025. Le résultat est bien celui attendu par l'énoncé.
5. Calcul de la probabilité sachant D :
On cherche P_D(A). La formule est P_D(A) = P(A ∩ D) / P(D).
P_D(A) = 0,015 / 0,025 = 15/25 = 3/5 = 0,6.
Il y a donc 60 % de chances que l'aiguille défectueuse provienne du site A.