Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques pour la classe de Première Technologique, prend la forme d'un questionnaire à choix multiples (QCM) ou d'affirmations à justifier. Il est particulièrement complet car il mobilise trois chapitres fondamentaux du tronc commun : les suites numériques, l'étude des équations du second degré et les probabilités. L'objectif est de vérifier la maîtrise des propriétés calculatoires et la capacité à modéliser une situation aléatoire simple.

Points de vigilance et notions de cours

• Suites arithmétiques : Il faut impérativement connaître la relation entre deux termes quelconques : $u_n = u_p + (n-p)r$. Une erreur classique consiste à utiliser $n$ au lieu de $n-p$.
• Suites géométriques : La relation $u_n = u_p \times q^{n-p}$ est essentielle. Attention au signe de la raison $q$ lorsqu'on résout une équation de type $q^2 = a$.
• Second degré : Savoir transformer une équation pour l'amener à la forme $ax^2 + bx + c = 0$. Ici, la factorisation est souvent plus rapide que le calcul du discriminant $\Delta$.
• Probabilités : L'utilisation d'un arbre de probabilité ou d'un tableau à double entrée est fortement recommandée pour ne pas oublier d'issues dans l'univers $\Omega$.

Correction détaillée de l'exercice

1. Affirmation 1 (VRAIE) : Nous avons une suite arithmétique de raison $r = 0,5$ avec $u_{50} = 1000$. Pour calculer $u_{60}$, on applique la formule : $u_{60} = u_{50} + (60 - 50) \times r$. Ce qui donne $u_{60} = 1000 + 10 \times 0,5 = 1000 + 5 = 1005$.

2. Affirmation 2 (VRAIE) : Dans une suite géométrique, $u_{102} = u_{100} \times q^2$. On a donc $20 = 5 \times q^2$, soit $q^2 = 4$. Comme $q$ est positive, $q = 2$. Pour trouver $u_{99}$, on sait que $u_{100} = u_{99} \times q$, d'où $5 = u_{99} \times 2$, soit $u_{99} = 5 / 2 = 2,5$.

3. Affirmation 3 (VRAIE) : L'affirmation propose l'équation $x + x = x^2$, soit $2x = x^2$. En réordonnant, on obtient $x^2 - 2x = 0$. En factorisant par $x$, on trouve $x(x - 2) = 0$. Cette équation possède deux solutions réelles : $x = 0$ et $x = 2$. Il est donc possible de trouver au moins un réel (ici, il y en a même deux).

4. Affirmation 4 (FAUSSE) : Lorsqu'on lance deux pièces, les issues possibles sont {Pile-Pile ; Pile-Face ; Face-Pile ; Face-Face}. Il y a 4 issues équiprobables. Gagner signifie obtenir {Pile-Pile} ou {Face-Face}. Il y a donc 2 chances sur 4, soit $1/2$ (50%) et non $1/4$.