Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Technologique est divisé en deux parties indépendantes mais ancrées dans un contexte concret : la gestion d'un club d'escalade. La première partie teste la capacité de l'élève à lire et interpréter un tableau à double entrée (tableau de contingence) pour calculer des probabilités simples et conditionnelles. La seconde partie porte sur l'évolution d'une population d'adhérents, modélisée par une suite arithmétique, et demande le calcul d'une somme totale de cotisations.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture du tableau : Il est crucial de ne pas confondre les effectifs marginaux (les totaux en bout de ligne ou colonne) et les effectifs croisés (à l'intersection).
• Probabilités conditionnelles : Dans la question 2.c, le dénominateur change car l'univers de référence est restreint à ceux qui sont venus le lundi.
• Somme de termes : Pour la question 3.b, le piège classique est le nombre de termes. De 2026 à 2041 inclus, il y a $2041 - 2026 + 1 = 16$ années.

Correction détaillée

1. Interprétation du tableau

Le nombre $x$ représente les adhérents présents le lundi mais absents le jeudi. Comme le total de la ligne 'Présent le LUNDI' est de 75 et qu'il y en a 45 présents le jeudi, on a : $x = 75 - 45 = 30$.

2. Calculs de probabilités

• Question 2.a : L'événement 'ni lundi ni jeudi' correspond à l'intersection 'Absent le LUNDI' et 'Absent le JEUDI'. On lit 5 adhérents sur un total de 100. La probabilité est donc $P = \frac{5}{100} = 0,05$.
• Question 2.b : 'N'est venu qu'un seul jour' signifie (Lundi ET PAS Jeudi) OU (PAS Lundi ET Jeudi). Cela correspond aux effectifs 30 (calculé en Q1) et 20. Total : $30 + 20 = 50$. Probabilité $P = \frac{50}{100} = 0,5$.
• Question 2.c : C'est une probabilité conditionnelle. Sachant qu'il est venu lundi (75 personnes), on regarde combien sont venus jeudi parmi eux (45). $P = \frac{45}{75} = \frac{3}{5} = 0,6$.

3. Étude de l'évolution (Suites)

Question 3.a : Montant en 2026 : $100 \text{ adhérents} \times 100 \text{ euros} = 10\,000$ euros.

Question 3.b : Le nombre d'adhérents suit une suite arithmétique de premier terme $a = 100$ et de raison $r = 5$. On cherche la somme des adhérents sur 16 ans (de $n=0$ pour 2026 à $n=15$ pour 2041).
En utilisant la formule fournie avec $n = 15$ :
$S = \frac{2 \times 100 + 15 \times 5}{2} \times (15 + 1) = \frac{200 + 75}{2} \times 16 = \frac{275}{2} \times 16 = 275 \times 8 = 2200$ adhérents au total sur la période.
Le montant total des cotisations est donc : $2200 \times 100 = 220\,000$ euros.